一种新的用于换热网络全局优化的强制进化随机游走算法

肖媛，崔国民，李帅龙



一种新的用于换热网络全局优化的强制进化随机游走算法

肖媛，崔国民，李帅龙

（上海理工大学新能源科学与工程研究所，上海200093）

应用启发式方法在换热网络全局优化上的优点，提出了一种全新的强制进化随机游走算法（random walk algorithm with compulsive evolution, RWCE），算法以目标函数减小为强制方向，通过各换热单元面积的随机扩大或缩小，同时实现了整型变量（换热单元数）和连续变量（换热单元面积）的同步优化。另外，算法能够以一定的概率选择接受差解，使其具备极强的跳出局部最优解的能力和全局搜索能力。算例验证表明，RWCE算法相比于其他启发式方法具有程序简单、更易实现、算法适应性及全局搜索能力更强的优点，使优化质量得到进一步提升。

强制进化随机游走算法；换热网络；整型变量；连续变量；优化

引 言

换热网络全局最优化目前已经成为系统工程领域的一个难点和热点。对于大规模换热网络系统的混合整数非线性优化问题，传统的确定性优化算法常常受制于局部最优解问题，而无法获得令人满意的结果。例如夹点技术法[1]和数学规划法[2]范畴的确定性方法[3]均受限于问题的非凸和非线性，优化极易陷入局部最小解，对于大规模网络难以找到全局最优解。因此，近年来启发式方法因其对目标函数的要求较低、可操作性及全局搜索能力较强的优点，较确定性方法而言在大规模换热网络的求解中得到了很好的应用[4-6]，包括禁忌搜索算法[6]、遗传算法(genetic algorithm, GA)[7]、微分进化算法(differential evolution, DE)[8-9]、粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)[10]、模拟退火算法(simulated annealing, SA)[11]等。

启发式方法是基于随机技术的一类群体智能优化算法，其关键步骤在于：随机生成初始种群，根据不同的优化策略来持续更新种群，不断向全局最优区域靠近。然而，启发式方法优化换热网络时，进化后期往往会由于种群多样性缺失导致早熟收敛，从而丧失全局搜索能力。近年来，学者们也针对这一问题对相应的启发式方法进行了改进：何巧乐等[12-13]提出了两种局部搜索策略来完善PSO的局部搜索能力，使算法具有更优的全局收敛性能；肖媛等[14]分析了PSO早熟收敛的本质并提出了强制跳出策略来改善算法的早熟收敛；陈上等[15]提出了动态更新策略来丰富DE的种群多样性使算法获得更强的全局搜索能力；方大俊等[16]提出了一种具有罚因子协同进化的DE来保证算法在优化进程的正确方向，提高了优化效率和精度。另外，为了实现换热网络整型变量的优化，有学者提出了双层算法，将两种启发式方法结合来实现整型变量和连续变量的分层优化[11,17-21]。然而，双层算法本质上仍属于分步优化的范畴，尽管内层与外层间存在信息交流，但很难给出结构变量的最佳进化方向，因此也很难使优化质量得到显著的提高。因此，换热网络的严重非凸非线性使启发式方法依然受制于局部极小值问题，而难以找到全局最优解。

鉴于启发式方法随机性的共性及进化后期早熟收敛的缺点，建立了一种全新的强制进化随机游走算法(random walk algorithm with compulsive evolution, RWCE)，充分利用启发式方法随机性的特点，通过各换热单元面积的随机扩大或缩小，实现整型变量（换热单元数）和连续变量（换热单元面积）的同步优化，且割裂种群中个体之间的相互牵制作用，保持个体进化的活跃度和种群的多样性，从而保证算法在进化过程始终保持较强的全局搜索能力。

1 换热网络模型

1.1 目标函数

换热网络优化问题的目标是能量回收最大或者经济费用最小。本文基于Peng等[11]提出的带有公用工程灵活布置的分级超结构模型，以经济费用最小为目标，数学描述为

等式右边前两项为公用工程运行费用，后3项分别是换热器、冷公用工程、热公用工程的设备投资费用。在实际优化过程中，以单个换热器的换热量Q,j,k为优化变量，依据模型中的假设，冷热流股逆流布置。依据换热器换热平衡

1.2 主要约束

（1）单股流体热平衡

（2）冷热流股可行出口温度

（3）冷热公用工程热平衡

此外，还隐含了换热面积和换热量在传热计算中的非负约束。每个换热单元必须满足如下最小传热温差约束，本文最小传热温差Dmin均取值为0℃。

2 强制进化随机游走算法

鉴于目前启发式方法随机性的共性及进化后期易早熟收敛的缺点，充分发挥随机性方法发散性搜索的特点，提出了一种完全随机的强制进化随机游走算法，其主要策略和目标为：①充分利用随机性的共性，将样本粒子的行为处理为最简单的随机游走；②使进化策略更简洁，程序实现更方便，整个进化过程只需几条语句；③减少控制参数，简单的限制条件直接转化为进化效率的提升；④全面揭示启发式优化方法随机性的共性及本质，强制进化和发散搜索保持算法始终具有极强的全局搜索能力。基于这些考虑，强制进化随机游走算法在进化操作上主要体现为：随机产生初始换热网络结构，并在此基础上以目标函数减小为强制进化方向，随机地扩大或缩小换热器的面积实现连续变量和结构变量的混合进化；同时，当游走到局部最优点附近时，有一定的概率随机接受差解，使其跳出局部最优而持续全局优化。RWCE算法流程如图1所示，其进化的主要步骤如下。

（1）种群初始化。随机产生初始种群1，其中包含个个体,=1,…,，每个个体对应一个E维的换热网络结构（每个换热网络结构的所有换热器均存在，E为换热器的个数），如式(14)所示。每个换热器的换热量即表示为Q,p，=1,…,，=1,…,E。初始种群表示如式(15)所示。

其中，max为求解域的大小，为(0,1)区间均匀随机数。

（2）进化阶段。对种群内部的所有样本个体循环进行随机游走操作，其主要方式如式(16)所示。其中，(=1,…,)为个体在第次迭代的初始换热量，(=1,…,)为个体随机游走后的换热量，,为(0,1)的随机数，D表示游走的最大步长。样本粒子的进化由控制变量组合实现，一个是粒子某一维度上的行走方向(1-2)，=1,…,E；另一个是粒子在这一维度上的行走步长D，=1,…,E。

当完成所有维度上的行走方向和行走步长后，则该粒子在多维空间内的随机游走行为即被确定下来。

进化过程中，最小换热量或最小换热面积被作为该换热单元是否存在的临界尺度。引入该尺度，在实现连续变量优化的基础上能同时实现整型变量的同步优化，一方面通过实现换热单元的消去而改变结构，另一方面提供了一个产生新换热单元的“阈值”来控制整型变量的进化进度。具体操作如式(17)所示。

（3）选择操作。基于以目标函数减小为强制方向的进化思想，若个体随机游走后的有效换热量能够得到更小的年度总费用，则接受该换热量作为该个体第(+1)次迭代的初始换热量，=1,…,，否则不更新该样本粒子，仍保持第次迭代的结构，如式(18)所示。

（4）变异操作。若按式(15)个体随机游走后的有效换热网络结构未能得到好于上一代的费用，则能够以一定的概率选择接受差解，操作如下

其中，为(0,1)的均匀随机数，为接受差解的概率。该操作的主要目的是增大整型变量的进化和变异概率，扩展整型变量的搜索空间，进而提高随机游走算法的全局寻优能力。的取值一方面应保证整型变量的寻优能力，另一方面需兼顾个体的自身进化，保证个体有充足的时间进行自身的进化。

（5）结束条件。记录进化过程中的最优个体BST。当满足终止条件时，则迭代终止。此处的终止条件可以设定为进化代数、目标函数下降速度等。

3 算例验证

为验证提出算法的性能，选取不同的算例进行优化，并对优化结果进行比较，采用Fortran77语言编程，计算机配置为：CPU Intel(R)Xeon(R) E5-2670，主频2.3 GHz，4 GB RAM。考察算法的优化效能的指标主要在于优化质量和优化效率两方面。对于换热网络优化问题，一般在可接受计算费用的条件下，考察最优解的质量是目前主要的方面。基于此，本文在相同计算费用条件下，侧重于从优化结果角度来考察RWCE算法。

3.1 算例1

算例1的流体参数数据取自文献[20]，包含6股热流体和4股冷流体，换热器、冷却器和加热器的传热系数均为0.025 kW·m-2·℃-1，换热器面积费用计算公式为60USD·a-1，热公用工程费用为100 USD·kW-1·a-1，冷公用工程费用为15 USD·kW-1·a-1，其他物流参数见表1。

表1 算例1流体参数

Ravagnani等[7]采用GA得到的最优解为5672821 USD·a-1；Yerramsetty等[8]采用DE得到的最优结果为5666765 USD·a-1；Khorasany等[20]采用内层为序列二次规划法(SQP)、外层为和声搜索算法(HS)的双层算法得到的最优结果为5662366 USD·a-1；Huo等[22]采用内层为PSO、外层为GA的双层算法得到的最优结果为5645688 USD·a-1；Myankooh等[23]将ACOR算法应用到该算例的优化得到的最优解为5642112 USD·a-1；肖媛等[14]采用结合强制跳出策略的PSO得到的最优结果是5629748 USD·a-1；He等[24]采用基于流股匹配原则的Powell法获得的最好结果是5609271 USD·a-1；Peng等[11]改进了Grossmann等[2]的分级超结构模型，提出了公用工程灵活替代换热器的模型，并采用内层为SA、外层为GA的双层算法得到的两个带有内部公用工程的结果为5619637 USD·a-1和5596079 USD·a-1，5596079 USD·a-1是目前文献中得到的最优费用。这些启发式方法在进化后期由于种群多样性的缺失而早熟收敛，难以跳出局部极小值而实现全局最优化。

采用RWCE算法优化算例1，当=400，max=7000 kW，D=100 kW，=0.9，=0.02时，得到了5593486 USD·a-1的最小年综合费用，对应的换热网络结构如图2所示。图2的结果比目前文献中的其他优化方法得到的费用低，费用对比如表2所示，表明RWCE算法具有强大的全局搜索能力。通过进一步调整算法的关键参数，分析其对算法性能的影响，并探索更优的局部最优解。基于上述参数，将max调整为8000 kW时，得到了更优的年综合费用5592150 USD·a-1，其对应的换热结构如图3所示。该结果说明在可行域范围内max越大，则解的搜索空间越大，对随机游走越有利。对于不同的算例，一般取该算例中每股流体的换热潜能的最大值来确定可行域。D作为判断换热单元是否存在的临界尺度，一方面影响着进化过程中换热器的消去或生成，另一方面影响着进化后期种群逼近局部最优解的精密性，D越小就越能逼近局部最优解，D越大则易造成局部极值左右的跳跃。

当D由90 kW调整至80 kW时，得到了更优的年综合费用5591247 USD·a-1，其换热网络结构如图4所示。实际上，D相同时越大，可保留的最小换热量越大，从而能控制进化过程中的换热单元数而不至于造成换热单元数目大幅增加的问题。越大，消去的换热单元越多，从而有效减少换热器的面积费用，对于换热网络优化是有利的。算例中取=90%。当然，对于存在很小面积的换热器的换热网络算例，可根据实际情况调小。

通过算例模拟发现，强制进化概率对优化的结果影响很大。当调整至0.01时，得到了年综合费用5589493 USD·a-1的换热网络结构，如图5所示。通过强制接受坏解，在一定程度上改变了原结构而实现了继承和进化，既保留了原有性能，同时又实现了整型变量的进化。

表2 算例1的优化费用对比

3.2 算例2

算例2取自文献 [25]，包含6股热流体与5股冷流体，换热器面积费用计算公式为9094+4850.81USD·a-1，热公用工程费用为110 USD·kW-1·a-1，冷公用工程费用为15 USD·kW-1·a-1，算例参数如表3所示。

表3 算例2流体参数

Castillo等[25]得到的最优解为141554.88 USD·a-1，Silva等[10]采用粒子群算法优化该算例得到了有分流的最优结果为139777 USD·a-1。通过RWCE算法优化算例2，当=600，max=50 kW，D=50 kW，=0.9，=0.01时得到了139775 USD·a-1的最小年综合费用，包含8个换热器和3个冷公用工程，相应的换热网络结构如图6所示。该结果与目前文献中的其他优化方法的优化结果对比如表4所示。

表4 算例2的优化费用对比

从图6的换热网络结构中发现，存在个别换热面积较小的换热器和公用工程，如3.1节所述，D越小，一方面可保留的换热器的最小面积越小，意味着生成新的换热器的概率越大，另一方面也影响着进化后期局部极值的精密程度。因此，基于图6得到的换热网络结构，当换热器个数超过8个时，设定D和分别为50 kW和0.9，否则设定为20 kW和0.15，从而得到了如图7所示的最优结构，包含10个换热器和1个冷公用工程，其年综合费用为139655 USD·a-1。

3.3 算例3

算例3取自文献[26]，包含4股热流体与4股冷流体，换热器、冷却器的传热系数均为0.15 kW·m-2·℃-1，加热器的传热系数为0.2 kW·m-2·℃-1，换热器面积费用计算公式为350.6USD·a-1，热公用工程费用为11.05 USD·kW-1·a-1，冷公用工程费用为5.31 USD·kW-1·a-1，其他物流参数见表5。Grossmann等[26]得到的最好结果为31890 USD·a-1；He等[24]采用基于流股匹配原则的Powell法获得了无分流换热网络综合的最好结果为 30793 USD·a-1。罗立等[27]结合遗传算法和模拟退火算法获得了有分流换热网络综合的最好结果为29438 USD·a-1。

本文采用RWCE算法进行了无分流优化，设定=100，max=1000 kW，D=50 kW，=0.9，=0.01，得到了30785 USD·a-1的最小年综合费用，包含7个换热器和3个热公用工程，比文献[24]中的无分流的最小费用更低，优化费用对比如表6所示。相应的换热网络结构如图8所示。

表5 算例3流体参数

表6 算例3的优化费用对比

4 结 论

（1）强制进化随机游走算法(RWCE)充分利用了启发式优化算法随机性的特点，将进化策略等效化为最简洁直观的随机游走，不同于其他启发式算法的是不依赖于种群中个体的信息交流，能够保持种群多样性而避免早熟收敛问题，使得整个优化方法针对任何非线性全局最优化问题具有易实现、适应性强的优点。

（2）RWCE算法具有控制参数少的优点，其本质控制参数只有保留系数和接受差解的概率，因此决定了本方法具有更强的可操作性。

（3）RWCE算法能同步优化换热网络的连续变量和整型变量，且进化过程中始终保持个体的活跃度和种群的多样性，从而保证了算法具有较强的全局搜索能力。

符 号 说 明

ACU,i——第i股热流体上冷公用工程的面积，m2 AHU,j——第j股冷流体上热公用工程的面积，m2 Ap——换热器面积，m2 CCU,CHU——分别为冷、热公用工程费用系数 C0,C1,C2——分别为换热器和冷、热公用工程固定投资费用 C′0,C′1,C′2——分别为换热器和冷、热公用工程面积费用系数 LMTDi,j,k——对数平均温差，℃ DL——游走的最大步长，kW M1——初始种群，kW NC——冷流体的数目 NE——换热网络换热器的总个数 NH——热流体的数目 Nk——级数 QCU,i——第i股热流体与冷公用工程换热量，kW QHU,j——第j股冷流体与热公用工程换热量，kW Qi,j,k——第i股热流体与第j股冷流体在第k级匹配的换热器的换热量，kW Qmax——求解域的大小，kW Qn,p——个体对应的换热网络结构中各换热器的换热量，kW ——个体在第it次迭代的初始换热量，kW ——个体随机游走后的换热量，kW ——个体随机游走后的有效换热量，kW Ti,k——第i股热流体第k级的入口温度，℃ , ——分别为换热器对应的热流体的入口、出口温度，℃ ——第i股热流体上末级的换热器的出口温度，℃ Tin,i,Tin,j——分别为热、冷流体的入口温度，℃ Tj,k——第j股冷流体第k级的入口温度，℃ , ——分别为换热器对应的冷流体的入口、出口温度，℃ ——第j股冷流体上第1级的换热器的出口温度，℃ Tout,i,Tout,j——分别为热、冷流体的目标温度，℃ DTmin——最小传热温差，℃ Ui,j——对流传热系数，W·m-2·K-1 a, e, g,r——(0,1)的均匀随机数 b——面积费用指数 d——接受差解的概率 h——保留系数 上角标 in——入口 out——出口 下角标 C——冷流体 CU——冷公用工程 H——热流体 HU——热公用工程 i——热流体编号 in——入口 j——冷流体编号 k——级编号 n——种群中个体编号 out——出口 p——换热器编号

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A novel random walk algorithm with compulsive evolution for global optimization of heat exchanger networks

XIAO Yuan, CUI Guomin, LI Shuailong

(Institute of New Energy Science and Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

A novel random walk algorithm with compulsive evolution (RWCE) was proposed on the basis of different heuristic methods for global optimization of heat exchanger networks. In RWCE algorithm, both integer (., number of heat exchanger units) and continuous (., area of heat exchanger) variables were optimized simultaneously by expanding or contracting randomly area of heat exchangers in the direction of targeting cost reduction. Moreover, when individuals walked around local optima, the RWCE algorithm could compulsively accept imperfect networks at certain probability such that it had strong capability of jumping out of the local optima and continuing global optimization. Several case studies indicated that the proposed RWCE algorithm, compared to other heuristic methods, possessed characteristics of simple evolution strategy, strong algorithm suitability and global searchability, which significantly improved optimization performance.

random walk algorithm with compulsive evolution；heat exchanger network；integer variable；linear variable；optimization

date: 2016-04-18.

Prof. CUI Guomin, cgm@usst.edu.cn

10.11949/j.issn.0438-1157.20160498

TP 18

A

0438—1157（2016）12—5140—08

国家自然科学基金项目（51176125）；沪江基金研究基地专项（D14001）；上海市科委部分地方院校能力建设计划项目（16060502600）。

supported by the National Natural Science Foundation of China (51176125), the Hujiang Foundation of China (D14001) and the Capacity Building Plan for Some Non-military Universities and Colleges of Shanghai Scientific Committee(16060502600).

2016-04-18收到初稿，2016-07-12收到修改稿。

联系人：崔国民。第一作者：肖媛（1991—），女，博士研究生。