Banach空间中线性离散时间系统的非一致幂二分性

陈丹丹

（湖北汽车工业学院理学院，湖北十堰442002）

Banach空间中线性离散时间系统的非一致幂二分性

陈丹丹

（湖北汽车工业学院理学院，湖北十堰442002）

给出了Banach空间中线性差分方程非一致幂二分性的若干性质，将已知的幂性不稳定和指数二分性结论推广到非一致幂二分性。

非一致幂二分性；线性离散系统；Lyapunov序列

0　引言

近年来，对有限和无限维空间中的演化方程解的渐近性质的研究已经取得了突破性的进展［1-6］。除了稳定性和不稳定性，关于演化方程的二分性研究也引起了较多学者的关注，由于演化方程的二分性存在的问题区别于稳定和不稳定性，研究动力系统的渐近行为二分法是一种强有力的工具。在文献［7］中Perron首次引进了（一致）指数二分法的概念，这在动力学中起着核心作用，特别是在离散和连续时间的稳定和不稳定不变流形的研究中，存在着大量的线性微分方程具有指数二分性。［8-10］

另一方面，在动力学研究中指数二分法条件太苛刻，这样就引起人们去寻找更一般的二分性条件。主要原因是从遍历理论的角度来看，几乎所有的变分方程在有限维空间中都具有非一致指数二分性。最近，一个特殊的非一致幂二分性概念即幂不稳定性，由Popa，Ceauşu和Megan在文献［11-12］中给出。

本文中主要介绍Banach空间中线性离散时间系统的非一致幂二分性的概念，并给出Banach空间中线性离散时间系统的非一致幂二分性的若干性质，将经典的不稳定性结论［12］和指数二分性结论［13］推广到了非一致幂二分性的性质。作为应用，利用Lyapunov序列得到相关概念的刻画。

1　符号表示和预备知识

X表示一个实或者复的Banach空间，记空间X上的范数及其上面的有界线性算子全体B（X）中的范数为，X上的恒等算子记作I，并记

线性离散时间系统的差分方程为

对所有（m，n）∈Δ，映射φ∶Δ→B（X） 定义为

特殊地，当式（1）是自治的，即对于∀n∈N，A（n）=A∈B（X），则有φ（m，n）=Am-n，∀（m，n）∈Δ。

定义1 一个映射P∶N→B（X）称为是X上的一个投影族，如果满足

对于所有n∈N。

定义2 称投影族P（n）与系统（1）是相容的，如果满足

对所有n∈N。

定义2中的等式对于补投影Q（n）也是成立的，且有

对所有（m，n ）∈Δ。

定义3线性离散时间系统（1）称为是一致幂二分的，如果存在2个常数D≥1和r∈（0，1），使得

对所有（m，n，x）∈ΔX都成立。

线性离散时间系统（1）是一致幂二分的，当且仅当存在2个常数D≥1和r∈（0，1），使得

对于所有（m，n，j）∈TX都成立。

例1令X=R2，c＞1，映射A∶N→B（R2）定义为

定义4线性离散时间系统（1）称为是非一致幂二分性的，如果存在一个常数r∈（0， 1）和一个非减序列D∶N→［1，+∞）使得

对于所有（m，n，x）∈ΔX都成立。

当P（n=0）时，可得到非一致幂不稳定性的性质，因此一个非一致幂不稳定的线性离散时间系统是非一致幂二分的；当Q（n=0）时，可得到非一致幂稳定的性质，而且易知若线性离散时间系统是非一致幂稳定的，则意味着是非一致幂二分的；当r=时，可以得到非一致指数二分性的特性。

线性离散时间系统（1）是一个非一致幂二分性的，当且仅当存在一个常数r∈（0，1）及一个非减序列D∶N→［1，+∞） ，使得

对于所有（m，n，j，x）∈TX都成立。

如果系统（1）是一致幂二分的，则一定是非一致幂二分的，反之未必成立。

例2令X=R2，c＞1及映射定义为

考虑投影族P，Q∶N→B（R2）

则有

本工程建筑平面长宽约为333m×105m，为超长结构，为解决大体积混凝土浇筑易产生的温差、混凝土收缩以及塔楼与裙房的不均匀沉降等问题，将地上各单体进行分缝处理，地下室部分联成一体设置后浇带处理。根据地质报告提供的土质状况，东、西翼塔楼基础采用桩筏，桩基采用直径800mm的泥浆护壁钻孔灌注桩基础；裙房部分采用整体筏板，柱下加下柱墩解决筏板冲切问题。通过上述基础设置，可有效防止整体建筑的不均匀沉降，并控制柱间的沉降差，使之满足相关规范的要求。

其中

进而

通过定义4知系统（1）是非一致幂二分的。

另一方面，如果假设系统（1）是一致幂二分的，那么就存在2个常数D≥1及r∈（0，1）使得

特别地，当m=n+1=2p+1，得到

当p→+∞即可得出矛盾。因此系统（1）不是一致幂二分性的。

定义5映射L∶ΔX→R+称为系统（1）的一个Lyapunov序列，如果存在一个常数l＞1使得

2　主要结论

设系统（1）是Banach空间X上的一个线性离散时间系统，Pn是与系统（1）相容的投影族。

定理1线性离散时间（1）是非一致幂二分性，当且仅当存在2个非减序列

对所有（m，n，x）∈ΔX都成立。类似于文献［12］中的命题1。

推论1线性离散时间系统（1）是一致幂二分，当且仅当存在一个非减序列 f∶N→，使得

对所有（m，n，x）∈ΔX都成立。

定理2线性离散时间系统（1）是非一致幂二分性的，当且仅当存在一个常数d＞1和一个非减序列h∶N→［1，+∞）使得

对于所有（m，n，j），x∈TX都成立。

2）充分性由于

进而可得到

对于所有（m，n，x）∈ΔX都成立。因此

类似可得

通过上述2个不等式可得系统（1）是非一致幂二分的。

推论2线性离散时间系统（1）是一致幂二分性，当且仅当存在常数d＞1，h≥1使得

对于所有（m，n，j，）x∈TX都成立。

定理3线性离散时间系统（1）是非一致幂二分性的，当且仅当存在2个常数d＞1，P＞0和一个非减序列h∶N→［1，+∞）使得

对于所有（m，n，j，x）∈TX都成立。

2）充分性不等式（8）意味着

进而

对于所有（m，n，x）∈ΔX都成立。因此

类似可得到利用以上2个不等式可得到系统（1）是非一致幂二分的。

推论3线性离散时间系统（1）是一致幂二分性的，当且仅当存在常数d＞1，p＞0及h≥1使得

对于所有（m，n，j，）x∈TX都成立。

定理4线性离散时间系统（1）是非一致幂二分性的，当且仅当存在一个Lyapunov序列和一个非减序列θ∶N→［1，+∞）使得

对于所有（m，n，x）∈ΔX都成立。

对于定义5中的l∈（1，β），通过简单的验证可知L是系统（1）的一个Lyapunov序列。接下来，对于所有（m，n，x）∈ΔX有

因此，不等式（10）是成立的。

2）充分性由条件LS1可得对∀（m，n，x）∈ΔX有

由条件LS2～LS3可知，对于所有（m，n，x）∈ΔX

由此，利用式（11）～（12）以及定理1可得到系统（1）是非一致幂二分的。

推论4线性离散时间系统（1）是一致幂二分性，当且仅当存在一个Lyapunov序列和一个常数θ≥1使得

对于所有（m，n，x）∈ΔX都成立。

［1］Popa I L，Ceau Su T，Megan M.On Exponential Stability for Linear Discrete-time Systems in Banach Spaces［J］. Comput Math Appl，2012，63：1497-1503.

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［5］Sasu B.On Exponential Dichotomy of Variational Differ⁃enceEquations［J］.DiscrDynNatureSoc，2009：324273.

［6］Sasu B.On Dichotomous Behavior of Variational Differ⁃ence Equations and Applications［J］.Discr Dyn Nature Soc，2009：140369.

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［13］Popa I L，Megan M，Ceau Su T.Exponential Dichoto⁃mies for Linear Discrete-time Systems in Banach Spac⁃es［J］.Appl Anal Discr Math，2012（6）：140-155.

Nonuniform Power Dichotomy for Linear Discrete-time Systems in Banach Spaces

Chen Dandan
（School of Science，Hubei University of Automotive Technology，Shiyan 442002，China）

Several characterizations for the nonuniform power dichotomy of the linear difference equations in Banach spaces were given.The well-known results for the power instability and exponential dichoto⁃my were extended to the case of nonuniform power dichotomy.

nonuniform power dichotomy；linear discrete-time system；Lyapunov sequence

O177.2

A

1008-5483（2016）02-0054-05

10.3969/j.issn.1008-5483.2016.02.013

2016-01-24

陈丹丹（1988-），女，河南商丘人，硕士，从事计算数学方面的研究。E-mail：609527301@qq.com