高斯列主元消去法解线性方程组的改进

华玉春　唐跃龙



高斯列主元消去法解线性方程组的改进

华玉春唐跃龙

（湖南科技学院 理学院，湖南 永州 425199）

分析了高斯列主元消去法解线性方程组的误差来源，在不考虑计算量的情况下，利用加减法和乘法替代除法进行彻底消元，避免了舍入误差，提高了高斯列主元消去法解线性方程组的精度。

高斯列主元消去法；线性方程组；误差

1　引　言

众所周知，应用科学与工程中的许多计算问题最后都是转化为求线性代数方程组的解。求解线性代数方程的方法有很多的，其中高斯消去法是常用方法之一。由于传统的高斯顺序消去法在消元过程中可能出现主对角线元素为零和主对角线元素的绝对值比同列对角线以下元素的绝对值还小的情形，它们分别会导致消元过程无法继续进行和用绝对值极小的数做分母的极端现象，以至求解过程中的误差不断积累并扩大，人们为了克服这一缺陷，提出了两种高斯主元消去法。

高斯主元消去法分别为高斯列主元消去法和高斯全主元消去法，它们之间的主要差别在于主元选取范围的不同。由于高斯全主元消去法在选择主元时，经常需要进行行交换甚至列列交换，这样就严重打乱了已有的未知量顺序，消耗大量的时间，故高斯列主元消去法的使用更加广泛。尽管高斯列主元消去法很巧妙地克服了高斯顺序消去法和高斯全主元消去法所存在的严重问题，但是其在消元过程中仍然隐含着一些不足之处。当系数相除所产生的舍入误差累积代入了未知量的直接求解时，会导致线性方程组解的误差，即求解线性方程组的误差——误差来源于除法[1]。

文章对高斯列主元消去法进行进一步的改进，力求在完全不使用除法的情况下进行彻底消元，将原线性方程组化为等价的对角形方程组。这样在消元过程中，就可以完全避免除法带来的误差累积，使得在整个的求解过程中除法使用次数降到最少，若最后系数能整除，则可完全消除误差，得到精确解，即使最后系数不能整除，也能使误差达到最小。

2　高斯列主元消去法解线性方程组

参考文献[2]中介绍高斯列主元消去法解线性方程组的一般步骤如下：

设有元线性方程组如下

传统的高斯列主元消去法，在消元与回代过程中除法所产生的舍入误差符号不尽相同。从而使误差在积累时发生相互抵消现象，但积累所产生的误差是相当大的[3]。下面举例进行说明：

解：用高斯列主元消去法求解，消元可得：

3　改进高斯列主元消去法解线性方程组

用加减法和乘法取代消元过程中的除法，可消除因系数不能整除而带来的误差。改进高斯列主元消去法求解线性方程组的具体计算步骤如下：

Step7 从式(7)可解得方程组的解为：

用改进的高斯列主元消去法求解例1. 过程如下：

解：一、利用高斯列主元消去法求解，消元过程如下：

回代可得方程组的解为

利用改进的高斯列主元消去法求解过程如下：

显而易见，与传统的高斯列主元消去法相比较，改进的高斯列主元消去法求解的精度更高。

4　结束语

跟传统的高斯列主元消去相比较，改进的高斯列主元消去法，虽然增加了一定的计算量，但是它成功地消除了消元过程中的误差，若最后的系数能整除，则可使得误差为0，即使最后系数不能整除，也可以避免误差的积累与扩大，使误差达到最小。

[1]胡尧,罗文俊.改进Gauss消去法求解线性方程组[J].贵州大学学报(自然科学版), 2004,(2):127-131.

[2]燕必成,姜晓强,王哲禄.高斯列主元消去法在Matlab中的实现[J].桂林航天工业学院学报,2014,(2):165-167.

[3]韦渤.Gauss消去法求解线性方程组的改进[J].科协论坛(下半月),2007,(8):23-24.

（责任编校：宫彦军）

2016－07－12

国家自然科学基金（项目编号11401201）；湖南科技学院校级科研项目。

华玉春（1982－），女，湖南武冈人，助教，硕士研究生，研究方向为常微分方程。

O241

A

1673-2219（2016）10-0008-04