采样频率对聚合经验模态分解的影响研究

陈换过　陈　培　陈文华　蔡　丽　沈建洋　吴建伟　吴明建,2

1.浙江省机电产品可靠性技术研究重点实验室，杭州，3100182.杭州前进齿轮箱集团股份有限公司，杭州，311203



采样频率对聚合经验模态分解的影响研究

陈换过1陈培1陈文华1蔡丽1沈建洋1吴建伟1吴明建1,2

1.浙江省机电产品可靠性技术研究重点实验室，杭州，3100182.杭州前进齿轮箱集团股份有限公司，杭州，311203

根据聚合经验模态分解的特点对能量泄漏指数进行了修订，从非对准误差、能量泄漏、分解结果的正交性和相关性方面分析了采样频率对聚合经验模态的影响，分析结果显示离散化采样引起的非对准误差随采样频率的提高逐渐减小，而能量泄漏以及分解结果之间的正交性和相关性随采样频率改变近似呈周期性变化。并根据分析结果给出了聚合经验模态中采样频率的选取原则。算例结果表明，综合考虑上述各影响因素后，聚合经验模态较为理想的采样频率范围是信号最高频率的10.3～11倍。

聚合经验模态分解；采样频率；能量泄漏；旋转机械

0　引言

经验模态分解(empirical mode decomposition, EMD)方法是一种数据驱动的自适应信号处理方法[1]，与傅里叶变换、小波变换、Winger-Ville变换相比，其分解过程只与被分解信号有关，不需要进行基函数选择，而且没有线性时不变系统的要求限制，非常适合处理非线性、非平稳性问题，因而在故障诊断中得到了广泛应用[2]。

虽然EMD方法的诸多优点使其在工程应用中得到了突出的表现，但是EMD缺乏严密的理论分析，依靠经验因素会对分解结果产生不利的影响，如端点效应、停止准则、模态混叠以及采样频率的影响问题等，其中以模态混叠和采样频率的影响尤为突出。模态混叠是指一个时间尺度信号成分被分解到不同的本征模态函数(intrinsic mode function, IMF)中，或者一个IMF中包含不同时间尺度的信号成分，模态混叠会对分解结果产生极大的影响。从信号的角度看，模态混叠由信号的间断引起，但实质是由EMD中时间尺度丢失所造成的[3]。为了克服模态混叠的影响，Wu等[4]提出了EMD的改进算法——聚合经验模态分解(ensemble empirical mode decomposition, EEMD)方法。EEMD将高斯白噪声添加到原始信号中，利用白噪声在频率范围内均匀分布的统计学特性，通过多次分解来平均消除白噪声的影响,从而得到最终的IMF，这就克服了模态混叠的问题。采样频率的影响主要表现在信号极值点的确定方面。EMD在求解IMF过程中需要经过多次筛选，每一次的筛选都必须找到待处理信号的局部极大值和局部极小值，并用三次样条插值计算出上下包络线，而采样频率对信号极值点的确定有较大的影响，因此会对EMD分解效果产生较大影响。Rilling等[5-6]最早分析了采样频率对EMD分解的影响，并对采样频率引起的非对准问题进行了研究；Stevenson等[7]研究了采样频率对IMF之间正交性、相关性的影响；胡维平等[8]在充分考虑正交性和频域滤波特性的基础上对由于离散化而影响EMD筛选的误差来源进行了分析。

EEMD虽然克服了模态混叠的影响，但是白噪声的引入使得采样频率对EEMD的影响不同于对EMD的影响。本文根据EEMD分解的特点对能量泄漏指数进行了修订，并从非对准误差、能量泄漏以及分解结果之间的正交性和相关性系数方面分析了不同采样频率对EEMD分解结果的影响，并根据分析结果给出了EEMD分解过程中采样频率的选取原则，对算法进行了改进，提高了EEMD的分解效率和精度。

1　EMD及EEMD基本理论

1.1EMD基本理论

EMD从信号本身的特征时间尺度出发，对信号进行平稳化处理，将信号中存在的不同尺度下的波动逐级分解为一系列具有不同特征尺度的IMF。EMD是一种数据驱动的自适应信号处理方法，其分解过程没有固定的先验基底，因此得到的IMF一般具有明显的物理意义。设x(t)为原始信号，其主要分解过程如下：

(1)提取原始信号的局部极大值和局部极小值；

(2)根据局部极值，利用三次样条差值构造出信号的上下包络E1和E2；

(3)计算上下包络的均值m1(t)=(E1+E2)/2，并计算x(t)与m1(t)的差值h1(t)，h1(t)=x(t)-m1(t)；

(4)以h1(t)代替原始信号x(t)，重复步骤(1)～步骤(3)直到hi(t)小于预定值或者单调时即可停止，将其第一阶IMF分量设为c1，将c1从原始信号x(t)中分离出来得到差值信号r1=x(t)-c1；

(5)将r1视作“新”信号重复步骤(1)～步骤(4)，直到残余信号为单调函数，不能再筛分IMF分量，结束分解过程，得到x(t)的分解式如下：

(1)

其中，rn(t)为信号的趋势分量，各IMF分量ci(t)为信号从高到低不同频段的成分。

1.2EEMD基本理论

EEMD在EMD基础上通过在分解过程中引入白噪声克服了模态混叠问题，是EMD的重大改进，其主要过程如下：设x(t)为原始信号，将白噪声nk(t)添加到原始信号中，对信号进行白噪化得到白化信号xk(t)：

xk(t)=x(t)+nk(t)

(2)

循环利用EMD将xk(t)分解为具有不同特征时间尺度的IMF[2]，并对各次的IMF求平均作为最终的IMF，得到：

(3)

(4)

式中，cik(t)为第k次筛分中的第i个IMF分量；rk(t)为第k次筛分的信号趋势分量，表示信号的平稳趋势；M为EEMD的分解次数。

2　采样频率影响分析

2.1不同采样频率引起的非对准误差和能量泄漏问题

EEMD在对信号进行分解求取IMF的过程中，需要经过多次筛选，而每次筛选都必须根据被分解信号的局部极值确定出上下包络线，对于连续谐波信号，由于上下包络线完全对称，因而分解过程不会有误差存在，但信号的离散化采样将会引起非对准，从而造成局部极值构成的包络不能严格对称而引起偏离误差[5]。对于简单的正弦信号而言，因为离散化采样引起的非对准误差的定义如下式所示[7]：

Eerror=1-sin(2πfc(tmax+Ts/2))=

1-sin(π/2+πfc/fs)

(5)

式中，tmax为信号中局部极大值对应的时间点；Ts为采样周期；fc为信号的频率；fs为采样频率。

图1　非对准误差曲线

非对准误差随归一化频率的变化情况如图1所示。理论而言，EEMD对单频率谐波信号进行分解时，其分解结果应该只有一个IMF分量，但是由于离散化采样而带来的非对准使得分解结果中包含多个IMF，从而导致分解过程中发生能量泄漏。由图1可知，随着归一化频率的减小，分解的非对准误差也会逐渐减小，在归一化频率为0.1时，非对准误差减小到5%。对于其他非线性信号，如(sint)2、e-αtsint等，该值会有所变化，但是非对准误差具有相同的减弱趋势。因此在应用EEMD分解过程中，采样频率应保证在某个水平之上以抑制由于离散化采样引起的非对准误差。

EEMD分解过程中离散化采样引起的非对准问题并不是误差的唯一来源，EMD的一个重要性质就是自适应地将不同时间尺度信号分解到不同的IMF中，且不同的IMF之间彼此保持正交，但是EEMD分解过程中由于白噪声的引入使得采样频率会影响到IMF之间的正交性。为了说明采样频率对EEMD分解正交性的影响，构造如下式的仿真信号c(t)：

c(t)=a(t)+b(t)

(6)

a(t)=sin(2fat)

fa=20 Hzfb=200 Hz

其时域波形如图2所示。

图2　仿真信号及其组成部分波形图

利用EEMD以700 Hz和1200 Hz两种不同的采样频率对仿真信号c(t)进行分解，其结果如图3所示。从图3可以看出:采样频率为700 Hz时，分解结果中的信号1、信号3分别与原始信号中的a(t)、b(t)相对应；当采样频率为1200 Hz时，分解结果中的信号2、信号3与原始信号中的a(t)对应，而信号4、信号5与b(t)相对应，采样频率提高反而降低了IMF之间的正交性，使得能量泄漏增加。Stevenson等[7]的研究结果表明采样频率的提高会增强EMD分解IMF之间的正交性，减少能量泄漏。由此可知，EEMD分解过程中引入了白噪声使得采样频率对它的影响与对EMD的影响有所区别，EMD筛分过程中采样频率的选取原则不能直接应用到EEMD分解方法中。

(a)fs=700 Hz

(b)fs=1200 Hz图3　采样频率对IMF间正交性的影响

2.2采样频率影响研究

当齿轮和轴承出现局部故障时，会产生突变的冲击脉冲力，激起设备的固有振动，引起信号在高频部分的幅值调制现象。为了研究采样频率对EEMD分解结果的影响规律，模拟齿轮箱中轴承故障时所测得的非平稳信号[9]，构造仿真信号如下式所示：

x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)+x4(t)

(7)

x1(t)=e-αt1sin(2πf1t)t1=mod(t,1/fB)

x2(t)=0.6sin(2πf2t)

x3(t)=sin(2πf3t)

x4(t)=0.2rand(n,1),n=length(t)

式中，x1(t)为模拟轴承外圈故障信号和系统结构谐振信号的调制；x2(t)和x3(t)为周期性谐波信号成分；x4(t)为模拟噪声信号；α为衰减频率(与系统阻尼特性相关)，α=400；f1为结构谐振频率，f1=800 Hz；f2为高速级齿轮的啮合频率，f2=180 Hz；f3为低速级齿轮的啮合频率，f3=50 Hz,fB为故障特征频率,fB=33 Hz;mod(·)为取余函数;rand(·)为随机函数;length(·)为求数组长度函数。

仿真信号的各个分信号波形如图4所示，合成信号波形及频谱图如图5所示。

图4　分信号时域波形图

(a)时域波形

(b)频谱图图5　合成信号时域波形及其频谱图

以连续正交性指数(successive IMF orthogonality, SIO)βSIO、相关系数(IMF coherence, IC)βIC、能量泄漏指数(residual energy, RE)βRE[1,6]三个不同的指标来评估采样频率对EEMD分解的影响。

βSIO为分解结果中相邻IMF之间的正交性指数，在评价分解结果的正交性方面与文献[1]中正交指数有相同的效果且计算量更小，定义如下式所示：

(8)

式中，I为分解结果中IMF的个数；N为被分解信号的长度。

βIC和βRE适用于被分解信号组成部分个数已知的情况。βIC为分解结果中有效或期望的IMF与原始信号之间的相关性系数的加权平均值，是分解结果中有效IMF物理意义的评价指标：

(9)

式中，NI为有效的IMF分量个数；si(n)为原始信号中与ci对应的部分；cor(·)为相关系数函数。

βRE表示分解过程中被分解到期望的IMF之外的信号能量，文献[7]给出了它在评价EMD分解结果时的定义，但EEMD在分解过程中引入了白噪声，而白噪声不应该被计入能量泄漏部分，因此本文对其定义作如下修订：

(10)

式中，s(n)为被分解信号。

利用EEMD以一系列不同的采样频率对式(7)所示的模拟信号进行处理，观察三个指标随采样频率的变化情况。根据Nyquist采样定理，采样频率应大于信号中最高频率的2倍，因此设置采样频率的范围为2000～14 000 Hz，频率步长为50 Hz，三个评价指标随采样频率的变化情况如图6所示。

图6　采样频率对分解结果的影响分析结果

由图6可知，EEMD的分解结果随采样频率的改变而近似周期性地变化，当采样频率在2000～2800 Hz、4800～5200 Hz以及8300～8800 Hz时，IMF之间的正交指数变化范围为[0.04，0.05]，能量泄漏指数变化范围为[0.09，0.1]，而相关系数变化范围为[0.92，0.95]。同时为了限制采样的非对准引起的误差，由图1结果可知，采样频率应保持在信号最高频率的10倍之上。因此从限制非对准误差、能量泄漏、IMF正交性和相关性以及分解效率多方面综合考虑采样频率对EEMD分解结果的影响，当采样频率在8300～8700 Hz，即信号最高频率的10.3～11倍之间时，EEMD分解效果较为理想，图7所示为fs=8450 Hz时的分解结果。

图7　采样频率fs=8450 Hz时的分解结果

从图7的分解结果可以看出c2与原始信号中的故障冲击信号x1(t)对应，c4、c5分别与谐波信号x2(t)、x3(t)对应，由此可知，根据本文采样频率的初步选取原则，确定合适的采样频率，而后利用EEMD对信号进行分解，精确高效地从原始信号中分离出了平稳信号和非平稳信号。

3　结语

在应用EEMD进行信号处理过程中，其分解结果除了受到噪声幅值和分解次数的影响，还受到采样频率的较大影响。为了探究这种影响规律，本文以滚动轴承故障中一种典型的非平稳信号为对象，分析了采样频率对EEMD分解的影响规律，并根据分析结果给出了采样频率的初步选取原则，该结果对提高EEMD分解结果的精度和效率以及其在旋转机械故障诊断方面有着重要的指导意义。

[1]HuangNE,ShenZ,LongSR,etal.TheEmpiricalModeDecompositionandtheHilbertSpectrumforNonlinearandNon-stationaryTimeSeriesAnalysis[J].ProceedingsoftheRoyalSocietyaMathematicalPhysical&EngineeringSciences， 1998，454(1971)：903-995.

[2]白亚红. 基于EMD和SVM技术风电齿轮箱早期故障诊断研究[D]. 大连：大连理工大学, 2009.

[3]杨永峰，吴亚峰. 经验模态分解在振动分析中的应用[M]. 北京：国防工业出版社，2013.

[4]WuZhaohua,HuangNE.EnsembleEmpiricalModeDecomposition:aNoiseAssistedDataAnalysisMethod[J].AdvancesinAdaptiveDataAnalysis，2011，1(1)：1-41.

[5]RillingG，FlandrinP.OntheInfluenceofSamplingontheEmpiricalModeDecomposition[C]//2006IEEEInternationalConferenceonAcoustics,SpeechandSignalProcessing.NewYork, 2006:Ⅲ444-Ⅲ447.

[6]RillingG,FlandrinP,GoncalvesP.OnEmpiricalModeDecompositionandItsAlgorithms[J].IEEE-EURASIPWorkshoponNonlinearSignalandImageProcessing，2003，NSIP-03.

[7]StevensonN,MesbahM,BoashashB.ASamplingLimitfortheEmpiricalModeDecomposition[J].SignalProcessingandItsApplications， 2005，2：674-650.

[8]胡维平，杜明辉. 信号采样频率对经验模态分解的影响研究[J].信号处理，2007，23(4)：637-640.

HuWeiping,DuMinhui.TheLimitationofSamplingfortheEmpiricalModeDecomposition.[J]SignalProcessing，2007，23(4)：637-640.

[9]WangJ,GaoRX,YanR,etal.AnIntegrativeComputationalMethodforGearboxDiagnosis[J].Proc.ofCIRP，2013，12：133-138.

(编辑王艳丽)

Study on Effects of Sampling Frequency on Performance of EEMD

Chen Huanguo1Chen Pei1Chen Wenhua1Cai Li1Shen Jianyang1Wu Jianwei1Wu Mingjian1,2

1.Zhejiang Province’s Key Laboratory of Reliability Technology for Mechanical and Electrical Product,HangZhou,310018 2.Hangzhou Advance Gearbox Group Co. Ltd.,HangZhou,311203

This paper revised the definition of residual energy according to the characteristics of EEMD firstly, and then investigated the effects of sampling frequency on the EEMD by analyzing the misalignment errors, residual energy, successive and orthogonality of intrinsic mode functions(IMFs). The analysis results show that the value of misalignment errors decreases with the raise of sampling frequency while the other three parameters periodic change approximately. Based on this rule, a selection principle of sampling frequency was obtained. Simulation example shows that the sampling frequency must be controlled in the range of 10.3 to 11 times of the maximum of the signal frequencies.

ensemble empirical mode decomposition(EEMD); sampling frequency; residual energy; rotating machinery

2016-01-08

国家自然科学基金资助项目(51475432)；浙江省国际科技合作专项计划资助项目(2013C24005)；国家国际科技合作专项(2015DFA71400)

N37

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.18.010

陈换过，女，1977年生。浙江理工大学机械与自动控制学院副教授。主要研究方向为结构健康监控、结构动力学及信号处理方法研究。陈培，男，1989年生。浙江理工大学机械与自动控制学院硕士研究生。陈文华(通信作者)，男，1963年生。浙江理工大学机械与自动控制学院教授、博士研究生导师。蔡丽，女，1988年生。浙江理工大学机械与自动控制学院硕士研究生。沈建洋，男，1990年生。浙江理工大学机械与自动控制学院硕士研究生。吴建伟，男，1991年生。浙江理工大学机械与自动控制学院硕士研究生。吴明建，男，1979年生。杭州前进齿轮箱集团股份有限公司高级工程师，浙江理工大学机械与自动控制学院企业指导老师。