一类上三角系统的输出反馈镇定问题*

曹永军 叶国强 李丽丽



一类上三角系统的输出反馈镇定问题*

曹永军1,2叶国强2李丽丽3

（1.广东省智能制造研究所 广东省现代控制与光机电技术公共实验室 2.华南智能机器人创新研究院 3.顺德职业技术学院）

针对非线性非最小相位系统的稳定性问题，提出一种基于非线性部分线性假设的输出反馈控制器设计方法。首先，给出一类特殊结构的非线性系统，并对非线性部分引入线性不等式条件。其次，在坐标变换下系统结构变为类似倒三角结构。最后，通过反步法设计了输出反馈控制器。

上三角系统；李雅普诺夫函数；镇定器设计

0 引言

在控制领域有很多控制方法，可用不同方法达到不同的效果，并且有不同的实现方式。从应用出发，控制算法可分为3种：以经典控制为代表的传统控制方法，以状态空间为研究对象的现代控制方法和智能控制方法。随着科学技术的发展，控制算法的实现方式越来越具多样性，尤其计算机技术的发展，使其实现方式越来越简单，从而控制算法的应用也更加广泛。

控制算法的实现方式很多，如利用电路设计的模拟量控制，利用计算机的数字控制，应用较多的是模拟量的实现方式。它通过设计机械，构造电路达到连续性的模拟量控制。这种实现方式有许多优点，如控制器设计容易；可利用的信息较全面。但其缺点也越来越突出，如控制算法复杂时，可实现方式较少；不易于监督与操作；分级控制难度较大；改变控制策略较难。

模拟量控制方法中，输出反馈是难题。虽然输出反馈镇定非线性问题研究已久，并取得较多成果。如，马林托美的关于降级非线性的控制器设计[1-2]，帕力关于非线性非最小相位的观测器探究[3-4]等。但这些成果大都针对一类广泛最小相位非线性系统的镇定问题[5]，但还有一些形式如下三角的最小相位系统也可被镇定。非最小相位非线性系统的镇定问题是非线性领域的关键问题。

对于非最小相位系统，如果输出结构为

则它的一类非最小相位系统，可通过输出反馈镇定器来镇定。上述结构系统基于一种指数稳定的假设，这样的假设过于严格。本文引入一种基于输入输出稳定的假设到非线性非最小相位系统镇定问题中，它假设零动态部分对估计输出和实际与估计之间的误差满足一种输入输出稳定。通过这样的假设，可由反步法设计控制器。

本文讨论一类非最小相位系统。首先，给出一类非最小相位系统模型，该最小相位系统具有特殊的上三角结构；然后，讨论该模型的特殊性质，这些特殊性质对输出反馈镇定器的构造有非常重要的作用；最后，通过李雅普诺夫函数的构造，设计该系统的镇定器，并且证明该镇定器能够镇定该类上三角系统。

1 一类上三角系统及坐标变换

本文讨论的一类非最小相位上三角非线性系统有如下形式

为设计上述一类上三角系统镇定器，需要对非线性部分进行假设。

为更容易设计和理解控制器，引入特殊坐标变换。取一个常数，满足，定义坐标变换为

经过坐标变换，系统变为

其中

由假设1，可得到

这样，可设计如下的状态镇定器来镇定系统

2 输出反馈控制器设计

引理1 基于假设1，非线性非最小相位的上三角系统能够被如下形式的输出反馈控制器镇定

证明：为设计镇定器，先引入坐标变换

经过坐标变换，系统变为

由假设1，可得到

设计如下观测器

于是得到

其中

则

于是可设计如下的输出反馈控制器

另一方面

由于李雅普诺夫函数为负定，可得出结论，该上三角结构非最小相位的非线性系统能够被本文设计的输出反馈镇定器镇定。

3 仿真与分析

本文构造如下的非最小相位的上三角系统，基于假设1设计了控制器进行镇定系统，并且在Matlab平台上进行仿真。

例：考虑如下的非线性系统

由于非线性部分满足假设1，根据上述方法，设计输出反馈控制器如下

利用Matlab仿真，得到图1~图6。

图2 变化图

图3 变化图

图4 变化图

图5 变化图

图6 变化图

由图1~图6可以看出，该控制器能够镇定系统，使各个状态变量收敛到原点。

4 结论

本文针对一类非最小相位具有三角结构的系统，提出一种控制器的构造方法，并通过Matlab仿真证明了其可行性。下一步将讨论该类系统是否能够进一步拓展；能否放宽结构的特殊性；或其鲁棒性和自适应控制器构造等问题。

[1] Marino R, Tomei P. Dynamic output feedback linearization and global stabilization[J]. Syst. Control Lett., 1991, 17(2): 115- 121.

[2] Marino R, Tomei P. Nonlinear control design: geometric, adaptive and robust[M]. London, U.K.: Prentice-Hall, 1996.

[3] Praly L. Asymptotic stabilization via output feedback for lower triangular systems with output dependent incremental rate[C]//Proc. 40th IEEE Conf. Decision and control, 2001: 3803-3813.

[4] Praly L, Jiang Z P. Stabilization by output feedback for systems with ISS inverse dynamics[J]. Syst. Control Lett., 1993, 21(1): 19-33.

[5] Battilotti S. A Note on reduced order stabilizing output feedback controllers[J]. Syst. Contr. Lett., 1997, 30(30): 71-81.

Output Feedback Stabilization Problem of a Kind of Upper Triangular System

Cao Yongjun1,2Ye Guoqiang2Li Lili3

(1.Guangdong Institute of Intelligent Manufacturing Guangdong Modern Control and Optical Electrical and Mechanical Technology Public Laboratory 2.South China Robotics Innovation Research Institute 3.Shunde Polytechnic)

To solve stability problem of Non-Minimum-Phase nonlinear systems, this paper introduces a new way to design the controller depending on hypothesis about nonlinear part of system. First, a kind of system with special structure is discussed and a kind of linear hypothesis for nonlinear part is introduced. Then a coordinate transformation is introduced to the system, which is transformed into another scale space to discuss the problem. In this system, the system structure becomes similar to the inverted triangular structure system. At last, the paper uses back stepping method to design the controller.

Upper Triangular Systems; Lyapunov Function; Controller Design

曹永军，男，1981年生，硕士，高级工程师，主要研究方向：智能控制与系统、机器视觉等。E-mail: cyjauto@163.com

叶国强，男，1987年生，硕士，工程师，主要研究方向：非线性控制、工业机器人控制、无人机控制等。

李丽丽，女，1981年生，硕士，工程师，主要研究方向：视觉与控制。

广东省科技计划项目（2015B010917001）、（2016B090912005）、（2014A050503009）、（2015B090922008）；广东省粤港共性技术招标项目（2013B010134009）；广州市科技计划项目（201607010313）；佛山市机电专业群开放课题（2015-KJZX133）。