供电线路的数学建模

马兴旺 李广胜 王全智

对供电线路进行模拟分析和计算时，必须知道其各元件的等值电路和电气参数。电力线路的电气参数是指线路的电阻r、电抗x、电导g和电纳b。

一、输电线路的电阻

有色金属导线每单位长度的电阻可引用电路课程中导体的电阻与长度、导体电阻率成正比，与横截面积成反比，而且还与温度有关，计算式：，式中，r20为20℃时的电阻值，a为电阻温度系数，对于铜a=0.00382（1/℃），铝a=0.0036（1/℃）。

二、输电线路的电抗

电力线路电抗是由于导线中通过三相对称交流电流时，在导线周围产生交变磁场而形成的。对于三相输电线路，每相线路都存在有自感和互感三相输电线路通以交流电流时，导体周围产生电磁场，该电磁场沿线做均匀分布，电磁能转变为热能也是沿全线进行的，故三相输电线路是一分布参数的电路。三相输电线路正常运行时，三相电压、电流处于对称情况，分析时就以其中一相即可。输电线路的单相等值电路为：，式中r为导线的半径；为导线材料的相对导磁系数，对于铝和铜 =1；Dm为三相导线几何均距。

三、输电线路的电导

架空输电线路的电导主要与线路电晕损耗以及绝缘子的泄漏电阻有关。通常前者起主要作用，而后者因线路的绝缘水平较高，往往可以忽略不计，只有在雨天或严重污秽等情况下，泄漏电阻才会有所增加。在一般的电力系统计算中可以忽略电晕损耗。

四、输电线路的电纳

在输电线路中，导线之间和导线对地都存在电容，当三相交流电源加在线路上时随着电容的充放电就产生了电流，这就是输电线路的充电电流或空载电流。反映电容效应的参数就是电容。三相对称排列或经完整循环换位后输电线路单位长度电纳可按公式计算。单导线单位长度电纳为b，式中Dm、r的代表的物理意义分别为三相导线几何均距、导线的半径。显然由于电纳与几何均距、导线半径也有对数关系，所以架空线路的电纳变化也不大，其值一般在左右。

五、电力线路的数学模型

三相输电线路通以交流电流时，导体周围产生电磁场，该电磁场沿线做均匀分布，电磁能转变为热能也是沿全线进行的，故三相输电线路是一分布参数的电路。三相输电线路正常运行时，三相电压、电流处于对称情况，分析时就以其中一相即可。输电线路的单相等值电路如右图。

如图所示的分布参数等值电路进行输电线的电气计算是比较复杂的，为了简化计算，工程上一般根据线路的长短采用以下几种等值电路。

（一）短电力线路的一字形等值电路

对于线路长度不超过100km的短架空线路和不长的电缆线路，称短电力线路；当电压不高时线路电纳及电导可忽略不计。这样就得到了只有电阻和电抗两个参数表示的一字形等值电路（下图右），Z=R+jX，如图所示。

由图可得：，将式上式与电路理论课程中介绍的双端口网络方程式相比较，，可得这种等值电路的通用常数A、B、C、D ，其中A=1，B=Z，C=0，D=1。

（二）中等长度线路的П型和Τ型等值电路

对于长度在100-300km的架空线路或不超过100km的电缆线路，称中等长度电力线路，其电纳的影响已不能忽略，故通常采用П型（下图右）和Τ型（下图左）等值电路。如图所示，其中，常用的是∏型等值电路。

在П型等值电路中，除串联的线路总阻抗Z=R+jX之外，还将线路的总导纳Y=jB分为两半，分别并联在线路的始末端。在Τ型等值电路中，线路的总导纳集中在中间，而线路的总阻抗则分为两半，分别串联在它的两侧。因此，这两种电路都是近似的等值电路，而且，相互间并不等值，即它们不能用△-Y变换公式相互变换。

（三）远距离输电线路的等值电路

若线路是长度超过300km的架空线路和超过100km的电缆线路，属于远距离输电线路，这种线路等值电路也可采用П型或Τ型等值电路：，γ为传播常数，Zc为线路特征阻抗，也称为波阻抗，式中，α为行波振幅衰减系数，β表征行波相位的变化情况，称为相位系数，z，y为线路单位长度阻抗和导纳。远距离输电线路的П型（下图右）或Τ型（下图左）等值电路如图所示，实际应用时大多采用П型等值电路。

根据上述的A、B、C、D参数，可推导出远距离输电线路П型等值电路中的各参数与传输参数的关系，对于远距离输电线路，若不考虑其分布参数，将给计算结果带来较大的误差，电阻误差大于10%，电抗次之，电纳更次之。