空间点到直线距离的新算法

陈士龙，邹新民

（1.长江大学　信息与数学学院，湖北　荆州　434023；2.湖北省监利中学，湖北　监利　433300）

空间点到直线距离的新算法

陈士龙1，邹新民2

（1.长江大学信息与数学学院，湖北荆州434023；2.湖北省监利中学，湖北监利433300）

运用极值原理，给出了直线一般方程条件下空间点到直线的距离公式.

平面束；内积；极值；距离

1　问题的提出

2　新算法研究

π:μ（A1x+B1y+C1z+D1）+λ（A2x+B2y+C2z+D2）=0（μλ∈R）的距离d（μ，λ）的最小值和最大值都存在，且最小值dmin=0，最大值dmax=|PQ|（其中PQ⊥直线L，垂足为Q）.

证明如图一所示，设经过直线L且与直线PQ垂直的平面为π0，过直线L的平面π与π0夹角为θ（0≤θ≤π/2），则点 P到平面 π的距离 d=|PQ|cosθ，当θ=0、π/2时，得dmax=|PQ|、dmin=0.

μ（A1x+B1y+C1z+D1）+λ（A2x+B2y+C2z+D2）=0（λ∈R），它表示除π2外的经过直线L的所有平面［2］，于是由引理1可得：

推论设直线L外一点P（x0，y0，z0）到平面

（A1x+B1y+C1z+D1）+λ（A2x+B2y+C2z+D2）=0的距离为d（λ），PQ⊥直线L，垂足为Q，则：

i）当且仅当P∈π2时，d（λ）有最大值但无最小值；

ii）当且仅当PQ⊥π2时，d（λ）有最小值但无最大值；

iii）除i）、ii）情形外，d（λ）既有最大值又有最小值，且最小值为0，最大值为点P到直线L的距离|PQ|.

定义内积（ni，nj）=AiAj+BiBj+CiCj（i，j=1，2），则点P到直线L的距离:

i）当M2（n1，n2）≠M1（n2，n2）时

ii）当M2（n1，n2）=M1（n2，n2）时

下面来求f（λ）的最大值点：令f'（λ）=0得

i）当M2（n1，n2）≠M1（n2，n2）时，

10若M2≠0，则（n1，n2）M22-（n2，n2）M1M2≠0，此时f（λ）有两个驻点：

由f（λ1）=0知λ1是f（λ）的最小值点，所以λ=λ2是所求的f（λ）的最大值点，（2）式成立.

20若M2=0（P∈π2，由于P∉L，所以P∉π1，因而M1≠0），则f（λ）仅有一个驻点，此λ即为f（λ）的最大值点（由推论i）知，此时f（λ）无最小值），（2）式成立.

ii）当M2（n1，n2）=M1（n2，n2）时，f（λ）仅有一个驻点

λ*=，且f（λ*）=0，表明f（λ）有最小值但无最大值.

由推论ii）知，此时d等于点P到平面π2的距离：

3　应用举例

解1）用公式（1）求解.

代公式（1）得

2）用定理1求解.

M1=1，M2=5，（n1，n1）=3，（n1，n2）=0，（n2，n2）=6，由（2）式得，于是

4　结束语

本文给出的计算方法具有程序化特点，容易推广到n维空间内点到两超平面交线的距离的情形.

O13

A

1673-260X（2016）07-0010-02

2016-03-13

〔1〕江苏师范学院数学系.解析几何［M］.北京：高等教育出版社，1984.

〔2〕同济大学应用数学系.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2002.