圆中之“最”，有“迹”可寻

柏素霞

近年来，以圆为载体，通过点的运动或是圆本身的运动来考查与圆有关的最值的题型不在少数，解决这类问题的关键是找出确定最值成立的条件，同学们要学会化未知为已知，与已学知识点相联系，架起思维的桥梁，实现转化，从而找到突破口求解.

一、 结合三角形的中位线定理求解

例1 如图1，AB是☉O的弦，AB=6，点C是☉O上的一个动点，且∠ACB=45°.若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_______.

【分析】根据中位线定理得到，AC最大时，MN最大.AC是圆的一条弦，随着点C的运动，弦AC的长在发生变化，在圆内，直径是最长的弦，因此，当AC过点O为直径时AC最长，从而求得直径后就可以求出最大值.

解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，

∴MN=AC，

∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC为直径时最大，如图2，

∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，

∴AD=6，

∴MN=AD=3，

故答案为：3.

【说明】在解决本类题型时我们要学会动中觅静，要分清在运动过程中图形的不变元素和变动元素，探寻到那些隐含的、在运动变化中没有改变的不变量或不变关系.本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解什么时候MN的值最大.本题中的不变关系就是三角形的中位线定理，通过这个不变关系实现了最大值的转化，通过求AC的最大值从而求得了MN的最大值.

二、 结合垂线段的性质求解

例2 如图3，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画☉O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为___________.

【分析】如图4，由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短.根据同圆中同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系可知∠EOF=120°，易求得∠EOH=60°，根据特殊的直角三角形三边间的比例关系可知EF=OE，当半径OE最短时，EF最短.

解：如图4，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，

∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，

∴OE=OF=1.

由圆周角定理可知

∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，

∴在Rt△EOH中，EH=1×=，

由垂径定理可知EF=2EH=，

故答案为：.

【说明】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及特殊的直角三角形的性质.解本题的关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再利用特殊直角三角形三边之比找出EF与圆的直径之间的关系.这里的最值实质上是应用了“垂线段最短”，再转化为所要求的弦的最小值.

三、 “最”上加“最”，综合求解

例3 如图5，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是________.

【分析】利用勾股定理的逆定理得到∠C为直角，利用“90度的圆周角所对的弦为直径”，得到EF为圆的直径.如图6，设圆与AB的切点为D，圆心为点O，连接CO、DO，这两条半径之和始终等于直径EF的长，当（CO+DO）的长度最短时，则EF的长度最小.故当C、O、D三点共线时，即当CD垂直于AB时，CD是圆的直径，此时EF长度最小，求出即可.

解：∵在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，

∴AB2=AC2+BC2，

∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，可知EF为圆的直径.

设圆与AB的切点为D，连接CD，

当CD垂直于AB，即CD是圆的直径时，EF长度最小，最小值是=7.2.

【说明】本题考查了勾股定理的逆定理及直径、圆周角的相关性质.解决本题的关键是要看清圆在运动的过程中，EF与（CO+DO）始终相等，故可进行等量转化.在运动过程中，有那么一个特殊状态，C、O、D三点共线且垂直于AB，此时CD最短且为直径，这里运用了两点之间线段最短和垂线段最短的性质.

以上几例为圆中有关最值计算问题的常用思路，同学们只要能寻得问题的源头，便能抵达成功的彼岸.

（作者单位：江苏省扬州大学附属中学东部分校）