“一次函数”专家诊疗室

□朱元生

“一次函数”专家诊疗室

□朱元生

今天是“一次函数”专家门诊的日子，这不，主任医师刚上班，就来了好几位慕名而来的患者，下面是几个典型病例诊治情况.

一、对函数图象的意义理解有误

病例1如图1，小明在操场上玩耍，一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步，能近似刻画小明到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（）.

图1

临床症状：选A或B.

病因诊断：这主要是由于对函数图象的意义理解有误，误认为匀速散步，即速度不变，A、B均是半圆，半圆上的点具有到圆心的距离相等的性质，从而误以为应选A或B.题目中要求的是近似刻画小明到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象，小明在从点M到点A这段时间内，他离点M的距离在逐渐增加，即y随x的增大而增大，图象上升；在从点A到点B这段时间内，小明到点M的距离保持不变，即x增大而y值不变，这时图象应与x轴平行；在从点B到点M的这段时间内，他离点M的距离在逐渐减少，即y随x的增大而减小，图象下降；且从行走的路程上考虑，半圆周长AB要大于直径AB，所以D也不正确.

处方：选C.

二、实际问题中自变量的取值范围的确定欠全面

病例2已知等腰三角形的周长为8cm，写出底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式，并画出函数图象.

临床症状：底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式为y= 8-2x，其函数图象如图2所示.

图2

图3

病因诊断：实际问题中自变量的取值范围的确定欠全面.本题既应考虑到腰长x＞0，底边长y＞0，还应考虑到三角形三边之间的关系，即2x＞y，解得2＜x＜4.

处方：函数关系式为y=8-2x（2＜x＜4），其函数图象应是如图3所示的不包括端点的一条线段.

三、对一次函数定义的理解出错

病例3已知函数y=（m2-3m）xm2-8+5是关于x的一次函数，试求m的值

临床症状：当m2-8=1时，函数y=（m2-3m）xm2-8+5是一次函数，这时m=±3.

病因诊断：一次函数y=kx+b的定义，不仅要求自变量x的指数为1，同时还要求比例系数即自变量x的系数k≠0，现只考虑到了指数m2-8=1，而遗漏了比例系数m2-3m≠0，事实上，当m=3时m2-3m= 0，这时y=（m2-3m）xm2-8+5就不是一个一次函数.

处方：当函数y=（m2-3m）xm2-8+5是一次函数时，m=-3.

四、忽视分类讨论

病例4：当a为何值时，函数y=（a+1）xa2-3+（a-3）x+a是关于x的一次函数？

临床症状：由题意得，a+1=0且a-3≠0，解得a=-1.

病因诊断：这是由于受思维定势的影响，考虑问题欠周密，忽视了分类讨论.

事实上当a2-3=1且（a+1）+（a-3）≠0，以及当a2-3=0且a-3≠0时，都是一次函数.

处方：（1）当a+1=0且a-3≠0时，解得a=-1；

（2）当a2-3=1且（a+1）+（a-3）≠0时，解得a=±2；

（3）当a2-3=0且a-3≠0时，解得a=

五、对一次函数图象的理解有误

病例5已知函数y=（m-1）x+（3-2m），y随x的增大而减小，则函数的图象大致是下图中的（）.

临床症状：选A或C

病因诊断：这是由于对一次函数图象的理解有误造成的.以为函数y=kx+b，y随x的增大而减小，即直线下降，忽视了直线与y轴的交点位置.事实上，函数y=kx+b，y随x的增大而减小，则需k＜0.即m-1＜0，解得m＜1，而当m＜1时，3-2m＞0，即直线与y轴的交点在x轴的上方.

处方：选A.