自同构群阶为8p12p22…pn2的有限幂零群
2016-09-23曲靖师范学院数学与信息科学学院
曲靖师范学院数学与信息科学学院 马 丽
自同构群阶为8p12p22…pn2的有限幂零群
曲靖师范学院数学与信息科学学院 马 丽
有限群G的结构是群论研究的热点。本文讨论自同构群的阶为8p12p22…pn2的有限群，并得到它们的同构分类。
自同构群 循环群 幂零群
Iyer证明了对于给定有限群G至多包含有限个X满足方程Aut（G）=X，同样的结论对方程Aut（G）=n（n为任意固定的正整数）成立。 Machale和Flannery提出|Aut（G）|=pn（1≤n≤4）及pq有限群的构造，并证明了不存在自同构群阶为p5、p6、p7的交换群（p为奇素数）。陈贵云提出自同构群的阶为p1p2…pn和pq2的有限群的构造。李世荣教授解决了自同构群阶为p2q2的有限群的分类。杜妮和李世荣教授给出自同构群阶为满足4pq的有限群的分类。其中，陈贵云教授等人给出了自同构群的阶为4p1p2…pn的有限群的完全分类。
以此为基础，本文的主要目的是讨论具有8p12p22…pn2阶自同构群结构，给出满足此条件的有限幂零群的同构分类。
本文考虑的群均为有限群，所有未经说明的记号和术语都是标准的。另外，Zn表示n阶循环群，Zp×Zp表示p2阶初等交换p-群。
一、预备引理
引理1.1：设G为pn阶初等交换p群， 则|Aut（G）|=|Gl（n，p）|=（pn-1）（pn-p）…（pn-pn-1）。
引理 1.2：设G为pn阶循环群， 则|Aut（G）|=pn-1（p-1）。
引理 1.3：设G=G1×G2×…×Gn，其中（Gi，Gj）=1（i≠j），则。
引理 1.4： 设P是一个非循环p群，|p|〉p2. 若|p/z（p）|≥p4，则|P|||Aut（p）| p2。
引理 1.5： 设P是m阶幂零群，m=2ap1a1p2a2…pnan，p1〈p2〈…〈pn是奇素数，a＞0，ai＞1。若群G的Sylow-pi-子群循环，Sylow-2-子群循环或同构于Z2×Z2. 则2n||Aut（G）|，且当a＞1时，2a+n-1||Aut（G）|。
二、主要结果及其证明
假设G是幂零群，且|Aut（G）|=8p12p22…pn2，则有G= T×Q1×Q2×…×Qs，其中T为G的Sylow-2-子群，Qi为G的Sylow-qi-子群，q1、q1、…qs是|G|的所有不同的素因子。由引理1.3知：|，即|。
令|T|=2m，|Qi|=qini，则有下面两个引理：
引理2.1 Qi循环且ni≤3（i-1，2，…s）。
证明：若存在某个Qi非循环，不妨假设Q1非循环，则Q1≥q12。如果|Q1|=q12，则Q1=Zq1×Zq1。由引理1.1可以知道，|Aut（Q1）|=|GL（2，q1）|=q1（q1+1）（q1-1）2。于是得出24||Aut（G）|，矛盾。所以|Q1|≥q13。又|Q1/ZQ1|||Q1（Z（G）∩Q1|=|Inn（G）||8p12p22…pn2， 所以|Q1/ZQ1|≤q2。根据引理1.4知，|Q1|||Aut（Q1）|||Aut（G）|，即q13||Aut（G）|，矛盾。所以Qi循环，进一步由引理1.2知，|Aut（Qi）|=qini-1（qi-1）|8p12p22…pn2，所以ni≤3。
引理2.2 T循环且|T|≤24，或 T≌Z2×Z2
证明：若T循环，假设|T|=2m，则|Aut（T）|=2m-1，所以m≤4。如果m=4， 即|T|=16，则|Aut（T）|=23，此时G =T矛盾，所以|T|≤23。
若T非循环，假设|T|≤23，根据|T/Z（T）|||Aut（T）|||Aut （G）|知|T/Z（T）|≤23。 根据引理1.4 知，|T||8p12p22…pn2，所以|T|≤23，假设T是8阶非循环群，则一定有8||Aut（T）|迫使G=T，但检查8阶非循环群的自同构群知，均不满足定理假设，所以|T|≤22， 即 T≌Z2×Z2。
定理 1：设G是有限幂零群，p1、p2…pn是奇素数，|Aut（G）|=8p12p22…pn2。那么，当且仅当G同构于下列群之一：
证明：我们按照下述3种情形来证明：
情形1：当T=1时。
此时，G=Q1×Q2×…×Qs，且由引理2.1知Qi（1≤i≤s）是循环群。进一步由引理1.5知2s||Aut（G）|，于是s≤3。
当s=1时，有G=Q1。根据引理1.2知 ：|Aut（Q1）|=
所以可得，当n1=1，。n1=3时，q1。因此可得或。
当s=2时，G=Q1×Q2。由于|Aut（Q1）|×|Aut（Q2）|=即。因此可得到G≌Gi（3≤i≤7）。
当s=3时，有G≌Q1×Q2×Q3。
由于|Aut（Q）|×|Aut（Q）|×|Aut（Q）|=8p2p2…p212312n
因此可得到G≌Gi（8≤i≤16）。
情形2：当T循环且T≥1时。
此时记H=Q1×Q2×…×Qs，则G=T×H.令|T|=2a，由引理1.5知，2a+s-1||Aut（G）|，所以a+s-1≤3，进一步由引理2.2知，1≤a≤3， 从而得s≤3。
当a=1时，则有|Aut（T）|=1，于是|Aut（G）|=|Aut （H）|，因此 H≌Gi（1≤i≤16）， 即G≌Z2×Gi。
当a=2时，则有|Aut（T）|=2，于是|Aut（H）|=
当s=2时，G≌Gi（35≤i≤39）。
当a=3时， 则 有|Aut（T）|=4， 于 是|Aut（H）|=
情形3： 当T非循环时。
此时由引理2.2知，T≌Z2×Z2时，进一步根据引理1.1知，|Aut（T）|=2×3，所以，于是。
再由引理1.5知s≤2。
当s=1时，G≌Z2×Z2×Z12 p22…pn2或Z2×Z2×Z （12 p22…pn2+1）3
当s=2时，G≌Gi（44≤i≤48）。
至此定理证毕。
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ISSN2095-6711/Z01-2016-09-0259
