结合律在数项级数中的巧用

徐辉明

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华321004)



结合律在数项级数中的巧用

徐辉明

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华321004)

讨论结合律在无穷级数中的运用，并对2015年浙江省高等数学竞赛中一道竞赛题进行了分析和探讨.

级数； 收敛； 结合律

1　引　　言

众所周知，有限个实(复)数的加法运算满足交换律和结合律，但在无穷级数中，交换律和结合律一般不成立，要在数项级数中运用交换律和结合律，需要满足一定的条件. 在数学分析教材中，下面两个定理是常见的.

定理1[1]在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变级数的和.

定理2[1]若级数∑un绝对收敛，且其和为S，则对该级数的项任意重排后所得的级数也收敛于S.

由此可见，收敛级数的项之间适用结合律，绝对收敛级数的项之间满足交换律.

在研究无穷级数的某些问题时，若能巧用结合律对级数的项进行分组，将有助于问题的解决. 本文中，我们将通过实例展示结合律在研究级数收敛性问题中的运用，并对2015年浙江省高等数学竞赛中一道竞赛题进行分析和探讨.

2　运用结合律研究级数的敛散性

由定理1可知，若级数收敛，则可适用结合律，下面的例子说明一般情形下结合律并不成立.

(-1+1)+(-1+1)+…+(-1+1)+…，

所得到的级数收敛.

上述例子表明，发散级数通过适当的方式加括号后有可能收敛. 但对于正项级数，这样的情形就不会发生.

命题1在正项级数的项中任意加括号，不改变级数的敛散性.

(1)

级数(1)的第k个部分和(k>1)是

命题2对级数

(2)

加括号，得到级数

(u1+…+un1)+(un1+1+…+un2)+…+(unk-1+1+…+unk)+…，

(3)

如果级数(3)的每个括号中各项符号相同，则当级数(3)收敛时，级数(2)也收敛.

|Snk-A|<ε.

(4)

注1命题2是文献[1]中的一个习题，为了内容的完整性，我们在这里给出了证明.

(5)

(6)

由命题2，只需证明级数(6)收敛.

另一方面，

而

根据交错级数的Leibniz判别法知级数(6)收敛.

发散.

∀ε>0，∃N>1，当n>N时，∀正整数p，都有

(7)

+[(nm+1)anm+1+…+nm+1anm+1]+…

其中

也可采用下列的分组方法：

第1组从n+1项到2n项，第2组从2n+1项到4n项，……，第m组从2m-1n+1项到2mn项，……，于是，有

+[(2m-1n+1)a2m-1n+1+…+2mna2mn]+…

其中

(2m-1n+1)a2m-1n+1+…+2mna2mn<2mn(a2m-1n+1+…+a2mn)

利用上述分组方式，通过进一步分析还发现，可以对条件或者结论进行改进，将条件减弱或者结论加强，得到如下的

[1]华东师范大学数学系. 数学分析(下册)[M]. 4版. 北京：高等教育出版社，2010.

[2]王泓博. 一道数学竞赛题的探讨[J]. 大学数学, 2015, 31(1):102-104.

[3]薛凌霄，李德新. 一类级数求和的推广[J]. 大学数学, 2015, 31(3):86-89.

Application of the Associative Law in Series

XU Hui-ming

(College of Mathematics, Physics and Information Engineering, Zhejiang Normal University,Jinhua Zhejiang 321004, China)

The author discusses the application of the associative law in series, analyses and studies a question of the competiton of advanced mathematics in Zhejiang Province in 2015.

series; convergence; associative law

2015-09-23；[修改日期]2016-04-07

国家自然科学基金(11271124, 11271332)；浙江省自然科学基金(LY14A010013, LY16A010004)

徐辉明(1963-),男，博士，教授，从事多复变函数论研究.Email:xhm@zjnu.cn

O173.1

C

1672-1454(2016)04-0123-04