拉马努金等式的证明及推广

李尧其

(上海师范大学数理学院,上海200234)



拉马努金等式的证明及推广

李尧其

(上海师范大学数理学院,上海200234)

对于拉马努金等式，本文首先应用数列极限的方法给出其收敛性的证明.再结合式中多重根号嵌套的结构，通过构造函数方程，给出一个推广的结果.并将这种方法推广到一般形式，最后得到了此类极限的收敛性的一般判别法.文中使用的方法，为无穷根号形式的极限问题提供了系统化思路，丰富了极限的表达形式.

拉马努金等式； 极限； 收敛性； 函数方程

1　引　　言

拉马努金(Ramanujan，1887-1920)是印度历史上极其伟大的数学家.他自学成才，尤其痴迷数论，思维极有跳跃性.拉马努金1887年生于印度东部的埃德罗，10岁进入中学，接触了正式的数学教育，并很快展现出很高的数学天赋.1913年，拉马努金给剑桥大学三一学院的哈代(G.H.Hardy，1840-1928)写信，报告自己的数学研究成果，他的数学天才由此受到学术界重视.拉马努金一生贫困，33岁便英年早逝，死后留下5个笔记本.时至今日，藏在这些笔记本中的数学思想与方法依然在被不断挖掘出来，并且应用到很多前沿领域.以下便是拉马努金发现的众多令人匪夷所思的等式中的一个

上式出自拉马努金数学笔记的第289题，称作拉马努金等式.拉马努金常凭直觉进行推导，笔者未见到拉马努金本人对这个等式的严格证明.本文分析了拉马努金等式的结构，分别应用数列极限、函数方程、函数列得到几种不同的证明方法以及推广结果.

2　基于数列极限的证法

容易验证，对于自然数n，有

3　 利用函数方程作推广

初看拉马努金等式的结构，往往觉得证明无从入手.由于多层根号嵌套的形式，容易联想到以下这个结论

它和拉马努金等式的形式很接近，若是直接套用它的证法，却对拉马努金等式无效.通过以上的分析可以看出，同样是利用递推数列，转换递推方式，便能得到完全不同的结果.但是如果事先不知道原式等于3，那么证明过程将很难想到.利用函数方程的思路，又有了以下的方法.

令

当x>1时，有

另一方面

即

亦即

重复上述步骤可知，对于任何自然数n，有

令n→∞即可得到f(x)=x+1，从而f(2)=3，拉马努金等式成立.

由于函数方程并没有统一的解法，从f2(x)=1+xf(x+1)得出f(x)=x+1更多靠观察，或者拉马努金所说的“直觉”.证明过程中的不等式运用是非常巧妙的，至于x>1的限制是为了保证不等式成立，但1未必是最佳估计.

4　构造函数列

将数列和函数方程的思路相结合，又可以得到另一种证法.

另一方面

以下估计f(x)和x+1的距离.设δ(x)=x+1-f(x)，则有0≤δ(x)<1. 由

f2(x)=1+xf(x+1)

得

从而对于任何有限的正数x，有

故

即δ(x)=0.则f(x)=x+1.f(2)=3. 拉马努金等式得证.

5　同敛态数列的构造

令

=…

此外，还有等式

成立.

6　结　　论

对于拉马努金等式，最容易想到的证明方法是利用数列极限.本文在这种方法的基础上，将其推广到一般的函数形式，这是一个自然的、也是重大的拓展.对于本文第五节中给出的一组同敛态数列，若此两个数列的极限果真有某种定量关系，则可由此轻易得到很多形如拉马努金等式的结果.

鉴于连分数理论的发展，笔者猜想形如拉马努金等式的“连根式”也会有一整套理论值得探讨.目前尚未见到这方面的专门研究.这无疑将是对数论问题的一种有益的补充和完善.

[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M]. 4版.北京:高等教育出版社,2010.

[2]刘培杰，等.超越吉米多维奇：数列的极限[M].哈尔滨：哈工大出版社,2009.

[3]罗伯特·卡尼格尔.知无涯者——拉马努金传[M]. 胡乐士、齐民友译.上海：上海科技教育出版社,2002.

The Proof and Generalization of Ramanujan’s Equation

LI Yao-qi

(Institute of Mathematical ,Shanghai Normal University,Shanghai 200234,China)

For the Ramanujan’s Equation,we give the proof of convergency by sequence limit firstly.Then construct a function equation for the square roots,and show a wider conclusion.In the end,we generalize the method to the general situation,and give a criterion for this kind of limit.The discuss in this article give a unitive train of thought of infinite square roots,and supplement the expressions of limit.

Ramanujan’s Equation; limit; convergency; function equation

2015-08-18；[修改日期]2016-05-19

李尧其(1994-)，男，在读硕士，从事微分方程研究.Email：965156745@qq.com.

O171

C

1672-1454(2016)04-0118-05