体验概念生成 促进思维发展——“充分条件与必要条件”(新授课)为例*

●易文辉

(东莞市教育局教研室　广东东莞　523000)



体验概念生成促进思维发展

——“充分条件与必要条件”(新授课)为例*

●易文辉

(东莞市教育局教研室广东东莞523000)

数学概念是进行数学推理、判断、证明的重要依据.概念学习中应抓住概念的本质、关注概念生成，在概念学习中学会学习和思考如何研究数学对象、如何学习数学概念，从而凸显思维的发展.充分条件、必要条件和充要条件是基本的数学用语，数学学科中大量的命题用它们来叙述，在充分条件与必要条件的学习中，通过充分条件与必要条件的数学和现实背景，初步了解充分、必要条件的含义，然后再通过不同角度的思考，加深对概念内涵、本质的理解，及其在数学命题中的地位和作用.

概念生成;充分条件;必要条件;思维

数学概念是进行数学推理、判断、论证的重要依据，概念学习的核心任务就是要体会概念产生、发展的过程，理解概念的本质，构建概念系统，完善认知体系.因此，在学习中，不仅仅要理解“是什么”，还应该明白“为什么”，同时要掌握知识之间的内在、横向联系.人教A版选修2-1第1.2节“充分条件与必要条件”[1]的学习不能孤立地学，应该紧扣“现实背景”和“数学内在联系”这两大源头，凸显“为何、何为”的哲学考量，以实现学习目标的有效达成.

1　学习目标

知识与技能1)了解推断符号“⟹”的含义，理解充分条件与必要条件的概念；2)初步掌握充分条件与必要条件的判断方法与简单应用.

过程与方法1)通过复习命题的真假判断及4种命题之间的关系，理解推断符号“⟹”的意义；2)通过具体的实例及层层递进问题思考，从“命题”“符号”“逻辑关系”这3个角度理解充分条件与必要条件的本质.

情感态度价值观通过参与知识的形成过程，体验数学的和谐统一及简约美，培养辩证的思维品质.

2　重点与难点

重点理解充分条件与必要条件的概念及其判断方法.

难点必要条件的理解及充分、必要综合应用.

3　教学过程

3.1问题情境

数学知识的发生和发展都离不开数学和实际生活的需要，学习中要充分体会知识背景中蕴含的数学思想方法及数学知识发生、发展的历程.充分条件与必要条件在现实生活中有相应的实际背景及数学内在的联系，体现了数学知识发展源自“客观实际”与“数学内在发展”需求.

情境1请同学们阅读下列材料.

材料1：小明同学有一天找到老师说：“老师，我想和小军同学同桌.”老师：“为什么？”小明：“因为我想和他一起坐.”老师：“你这个理由不够充分啊！”……

材料2：在2015年市人大会议上，徐书记说“引进高端人才，是东莞高水平发展的必要条件”……

材料3：只要人人都献出爱，世界就会变得更美好；只有坚持才能取得最后的胜利……

思考如何理解上述材料中“理由不够充分”“必要条件”“只要……就……”“只有……才……”的意思呢？

提示这些源自生活的“充分”“必要”的词语，实际上是数学中的2个重要概念，并且给出了严格的定义，学好这些用语有助于提高我们的逻辑思维能力，帮助我们准确地表达.

情境2复习回顾.

问题1上节课学习的4种命题是什么？它们之间有什么真假关系？

问题2判断下列命题的真假.

1)若x>a2+b2，则x>2ab；

2)若ab=0，则a=0.

3.2概念剖析，把握内涵

通过对前面引入情境中问题的思考与研究，对概念有初步的感知和想象，还需要通过去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的反复体会，归纳概括概念的本质特征，由此理解科学的定义.充分条件与必要条件的知识生长点除了现实背景以外，主要是数学中条件与结论的“必然”与“应然”关系的一种考量.

师：通过刚才的回顾，我们知道有的命题为真命题，如问题2中的命题1)；有的命题为假命题，如问题2中的命题2).这说明对于命题中条件与结论存在着一种重要的关系，这种关系就是今天要学习的主要内容.

定义一般地，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⟹q.并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.

如命题1)“若x>a2+b2，则x>2ab”为真，可以写成：x>a2+b2⟹x>2ab,且x>a2+b2是x>2ab的充分条件，x>2ab是x>a2+b2的必要条件.

问题1“若p则q”为假命题，是指由p通过推理______(填写：能或不能，答案：不能)得到q.这时，我们就说，由p______(填写：推出或推不出，答案：推不出)q，记作______(答案≠>)q，则p是q的______(答案：不充分)条件，q是p的______(答案：不必要)条件.

练一练

1.用符号“⟹”与“≠>”填空：

1)x2=y2______x=y；

2)内错角相等______2条直线平行；

3)整数a能被6整除______a的个位数字为偶数；

4)ac=bc______a=b.

分析根据定义，p⟹q表示“若p则q”为真，即由p成立就一定能推导得到q成立；反之，p≠>q表示“若p则q”为假，即由p成立不能推导得到q成立.

2.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？

1)若2条直线的斜率相等，则这2条直线平行；

2)若x>5，则x>10.

分析要判断p是否为q的充分条件，先确定p(条件)和q(结论)，然后判断是否有p⟹q.

3.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中q是p的必要条件？

1)若x=y，则x2=y2；

2)若2个三角形全等，则这2个三角形的面积相等；

3)若a>b，则ac>bc.

分析要判断q是否为p的必要条件即判断是否有p⟹q.

说明“问题1”和“练一练”是帮助学生理解推导符号“⟹”“充分条件”“必要条件”的内涵，其本质就是“若p则q”为真命题，“若p则q为真”“p⟹q”“p是q的充分条件，q是p的必要条件”表示同一逻辑关系在“命题”“符号表示”“关系说明”这3个角度的不同表述.

3.3概念辨析，智慧生成

数学概念是数学学习中的重要内容，而概念学习过程中，其辨析环节是极为重要的，除揭示概念本质、明确其内涵和外延之外，也是完善概念学习习惯的重要途径，明确定义是概念辨析的基本依据，通过问题串的思考使学生一步步地深入理解数学概念的本质、数学方法的步骤、数学思想的精髓[2].

问题2根据定义，p是q的充分条件说明什么？

分析p是q的充分条件说明由p通过推理可以得出q，即“若p则q”为真命题.

问题3如何理解“q是p的必要条件”？

分析“若p则q”为真命题，根据4种命题之间的关系，其逆否命题“若q则p”，即是说没有q就没有p，要使p成立，则q一定要成立，因此q成立是p成立的必不可少的条件.

问题4怎么样才能说“p是q的必要条件”？

分析要说p是q的必要条件，就是q⟹p，即“若q则p”为真命题.

说明通过3个问题的思考与讨论，明确要判定p与q之间的“充分”“必要”的关系，就是判断“若p则q”及其逆命题“若q则p”的真假问题，揭示“充分条件与必要条件”的本质.

问题5“p是q的充分条件”有哪些含义？

分析有p必有q，有q不一定有p，但是没有q就一定没有p，没有p不一定没有q.

请根据表1填空：

表1　原命题、逆命题符号表示

练一练请用“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”填空.

1)x=1是x2-4x+3=0的______条件；

2)x2=y2是x=y的______条件；

3)ac=bc是a=b的______条件.

3.4构建联系，凸显思维

问题6请同学们回忆以往学过的数学命题、定理、推论中，说说有哪些能够体现充分条件与必要条件的逻辑关系？

生1：若函数f(x)的图像在(a,b)上是连续不断的，且f(a)·f(b)是f(x)在(a,b)内有零点的充分条件(零点存在性定理).

生2：四边形的对角线相等是四边形为矩形的必要条件.

……

说明通过联系数学中的判定定理和性质定理，体会充分条件、必要条件内涵的同时，也要能深刻体会到数学中定义一个新的对象、寻求确定这个对象的依据，即充分条件.例如，寻找判定一个图形是否为平行四边形的条件、判断方程有解的条件、判断线面平行(垂直)的条件等.同时研究数学对象的性质，即性质定理，就是给出判定一个对象的必要条件，可用来区别一个事物与另一个事物.

问题7已知“若p则q”为真命题，设集合A={x|x满足p}，B={x|x满足q}，则集合A和B之间有什么关系？反之是否成立？

分析如图1，A是B的子集，反之若A是B的子集，则“若p则q”为真命题.

练习11)若p:x>0,q:x>1，则p是q的什么条件？2)问：p:x>0成立的一个充分不必要条件是______.

图1 　　　　　　　图2

分析第1)题根据数轴(如图2)，集合{x|x>1}⊆{x|x>0}，即q⟹p,p≠>q,因此p是q的必要不充分条件.

第2)题根据条件实际上是寻找集合{x|x>0}的真子集.

说明通过设置与集合关系相关的问题，凸显充分、必要条件与子集之间的关系，引导学生在理解与“开语句”有关的命题时，可以借助韦恩图或者数轴，先确定集合之间的关系，然后再确定充分与必要条件的关系，凸显数形结合在处理与数集有关的“充分、必要”逻辑关系问题中的应用.

3.5巩固应用，深化理解

练习21)请用“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”填空.

① “sinα=sinβ”是“α=β”的______条件;

② “x>1成立”是“x2>1成立”的______条件.

2)已知p:x>a(其中a∈R)，q:x>1，若p是q的充分不必要条件，求实数q的取值范围.

3)判断下列命题的真假.

①x=2是x2-4x+4=0的充分必要条件；

③ab≠0是a≠0的充分不必要条件.

说明练习2主要是熟悉概念的应用，加深对概念的理解，设置了直接判断和逆向的问题，也注重体现“数形”结合，提高思维能力.

3.6课堂小结,回顾反思

通过这节课的学习，你有哪些收获？

1)学习内容(自主归纳)：

①命题“若p则q”为真⟺“p⟹q”⟺“p是q的充分条件”⟺“q是p的必要条件”；

②判断p是q的什么条件，即是研究是否有p⟹q(充分性)和q⟹p(必要性)，即命题“若p则q”及其逆命题的真假.

2)数学思想方法上，学生能够总结出主要有转化思想、数形结合、分类讨论等思想方法.

3)学习数学概念的一般思维特征：概念引入的背景(现实背景、数学内部背景)——概念的表述——概念的表示(文字、符号、图形)——特例——联系(横向与纵向).

3.7布置作业

习题1.2A组第1～3题.

4　反思

概念学习是数学学习的重中之重，根据实际情况，探索思考突出概念本质、环环相扣的问题，关注概念的生成过程，即数学知识产生的背景(包括“实际背景”与“数学背景”)、归纳概念本质的过程，让学生边观察、边说、边思考，做到眼、手、口、脑并用，使概念的形成与概况经历形象化感知、外部言语、再到内部言语这样的过程[3]，才能更加有利于自身思维的发展.同时，在学习的过程中，要善于归纳研究数学问题的一般方法，归纳思考数学问题的一般思维特征.例如，数学中研究一个新的“对象”一般过程是怎样的？如何研究？又如，函数的性质的思维特征是什么,等.

[1]课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]杨艺.优化设计问题串实现高效型课堂[J].中学数学研究，2016(1):封二-3.

[3]俞永锋.探究概念形式一般化，深化导数概念理解[J].数学通讯:下半月，2014(9)：16-18.

*收文日期：2016-04-29；2016-06-01

易文辉(1981-)，男，江西寻乌人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

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1003-6407(2016)09-15-04