2016年山东卷理科第21题的深度探究*

2016-09-23韩长峰

中学教研(数学) 2016年9期

关键词：过点理科抛物线

●韩长峰

(太和中学　安徽阜阳　236600)

●卫小国

(单县一中　山东菏泽　274300)

2016年山东卷理科第21题的深度探究*

●韩长峰

(太和中学安徽阜阳236600)

●卫小国

(单县一中山东菏泽274300)

探究2016年山东省数学高考理科第21题，挖掘隐含背景，领悟命题思想，明确考查方向,为高三圆锥曲线的复习教学和压轴突破提供研究方法与解题技巧.

试题推广；纵向研究；横向拓展

2016年山东省数学高考理科第21题的第2)小题考查直线与抛物线、椭圆的位置关系等基础知识及转化化归的基本数学思想；以证明点在定直线上为载体，考查推理论证能力和运算求解能力，检测创新解题意识[1].笔者对此题进行了分析与研究，现撰文以展示探究历程.

1　试题再现

1)求椭圆C的方程.

图1

2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的2个点A,B,线段AB的中点为D，直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点M.

①求证：点M在定直线上；

②略.

分析易求得椭圆C的方程为x2+4y2=1，下面对第2)小题的第①问进行探究.

设A(xA,yA)，B(xB,yB),D(xD,yD),联立方程组

得

(4m2+1)x2-4m3x+m4-1=0.

于是直线OD的方程为

联立方程组

作差得

即

(xA+xB)(xA-xB)+4(yA+yB)(yA-yB)=0，

从而

kODkAB=-4.

解完题，笔者仍觉意犹未尽.因命题专家精心编制的试题往往将问题的抽象本质隐藏，而仅呈现出具体的表象[2].试题揭示了什么规律，其命制的源头何在？笔者进一步从一般性推广、纵向探究和横向拓展进行思考，终获玄机.

2　一般探究及推广

得

(b2+a2k2)x2+2a2kqx+a2q2-a2b2=0.

问题的一般性结论为：

图2

y=kx+q.

联立方程

得

(b2+a2k2)x2+2a2kqx+a2q2-a2b2=0,

可知

综合探究1、探究2可得如下的定理：

该结论道出了试题的深刻背景，也揭示出“动中有定，变与不变”的本质特征.命题者正是依据以上定理所蕴含的规律，利用特殊化，将其中的本质属性隐藏，命制出一道有一定思维难度、区分度较高、能较好考查学生数学素养的好题[3].

笔者在探究1和探究2的基础上进一步纵向深度探究和横向拓展，另有一番风味.

3　纵向探究

探究3探究1中在给定椭圆和抛物线焦点位置前提下，得出交点M在定直线上.试想，若椭圆和抛物线的焦点在坐标轴上位置发生变化，那么交点M是否仍在一条定直线上呢？

经探究，交点M仍在一条定直线上.但要注意，当椭圆和抛物线焦点位置不同时，条件“过点P且垂直于x轴的直线”和“过点P且垂直于y轴的直线”要与之对应.综合得到以下新结论：

图3

证明过程如结论1，笔者不再赘述.最终的结论呈现出条件与结论的对应关系，展示了一种内在的对称美！

探究4将题中部分条件和结论互换后，命题是否成立？

推理论证后得到以下结论：

4　横向拓展

探究5椭圆的特例是圆，圆是椭圆的极限，那么以上结论是否成立？

结论1～2中作特殊化类比：令椭圆中m=n，即得：

结论7平面直角坐标系xOy中，⊙C：x2+y2=m(其中m>0)，抛物线E：x2=2py(其中p>0).设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的2个点A,B,线段AB的中点为D，直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点M，则点M在定直线y=-p上.

结论8平面直角坐标系xOy中，⊙C：x2+y2=m(其中m>0)，抛物线E：y2=2px(其中p>0).设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的2个点A,B,线段AB的中点为D，直线OD与过点P且垂直于y轴的直线交于点M，则点M在定直线x=-p上.

同理，将定理1特殊化得：

定理2平面直角坐标系xOy中，⊙C：x2+y2=m(其中m>0)，抛物线E：x2=2py(其中p>0).设P是E上的动点，且位于第一象限，过E上点P处的直线l若与C交于不同的2个点A,B,线段AB的中点为D，且直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点M，则直线l为E在点P处的切线的充要条件是点M在定直线y=-p上.

将定理1在圆锥曲线内推广得：