Ω-型模李超代数的阶化

徐晓宁，王　瑾

(辽宁大学数学学院，辽宁 沈阳 110036)



Ω-型模李超代数的阶化

徐晓宁，王瑾

(辽宁大学数学学院，辽宁 沈阳 110036)

证明了模李超代数Ω是Z-阶化的李超代数.利用Ω的Z-阶化，确定了模李超代数Ω的极大子代数，证明了Ω0在Ω-1上的表示是不可约的.

模李超代数；阶化；表示

1　Ω的定义

模李超代数的确定起步较晚，但也已经取得了颇多成果.[1-7]文献[8]利用截头多项式代数与Grassmann超代数做张量积，得到了一篇有限维单模李超代数Ω，即Ω-型模李超代数，给出了其导子超代数，并证明了其与已知的Cartan型模李超代数都不同构.文献[9-10]分别讨论了有限维与无限维Ω-型模李超代数的滤过不变性.文献[11]研究了Ω-型模李超代数的二阶上同调.文献[12]讨论了Ω-型模李超代数的偶部.文献[13]确定了Ω-型模李超代数的偶部到奇部的具有负Z-次数的导子.文献[14]确定了Ω-型模李超代数的结合型与限制性.文献[15]研究了无限维Ω-型模李超代数的超导子代数.

本文讨论Ω-型模李超代数的阶化.利用Z-阶化，确定了Ω-型模李超代数的极大子代数及Ω0在Ω-1上表示的不可约性.

记N与N0分别是自然数集与非负整数集.设n∈N，r=2n+2，令μ1，…，μr-1∈F，且满足μ1=0，μj+μn+j=1，j=2，…，n+1.置M={1，…，r-1}，s=r+q，T={r+1，…，s}.令si∈N0，i=1，…，r-1，定义截头多项式代数

A=F[x10,x11,…,x1s1,…,xr-10,xr-11,…,xr-1sr-1，y1，…，ym]，

使得

Bk={〈i1,i2,…,ik〉|r+1≤i1

若2≤i≤n+1，则令i′=i+n与[i]=1；若n+2≤i≤r-1，则令i′=i-n与[i]=-1；若i∈T，则令i′=i与[i]=1.

2　Ω的Z-阶化

命题2.1设i∈Z，令

证明对于任意的t，j∈Z，令xkyλξu∈Ωt，则

令xlyηξv∈Ωj，则

直接计算得

因为xk-e1xlyλ+ηξuξv的Z-次数为

所以xk-e1xlyλ+ηξuξv∈Ωt+j.类似地，

注意到

由于xk-eixl-ei′yλ+ηξuξv的Z-次数为

且xkxlyλ+ηDi(ξu)Di(ξv)的Z-次数也为

故

命题2.2设ρ：Ω0→pl(Ω-1)是Ω0在Ω-1上的表示，则ρ不可约.

证明设M是Ω-1的非零子模，且

设存在某个i使得fi(y)≠0，则

b=[a,xixi′]=[i]fi(y)xi∈M.

d=[x1,xih(y)]=α1(1-ui-λ1)xiyλ1+α2(1-ui-λ2)xiyλ2+…∈M，

从而

(ui′-λ1)xih(y)-d=α2(λ2-λ1)xiyλ2+…∈M，

其所含元素个数比xih(y)中所含元素个数少，矛盾.故M只含有一个元素xiyλ.对任意的η∈H，有

xiyλ=[i][xiyλ，xixi′yη-λ]∈M.

对于任意的η∈H，j∈M∪T，有

xjyη=[i][xiyη，xi′xj]∈M，ξjyη=[i][xiyη，xi′ξj]∈M.

所以M=Ω-1.结论得证.

若f0(y)=0，则b∈Ω-1.设f0(z)≠0，有：

[1]PETROGRADSKI V M.Identities in the enveloping algebras of modular Lie superalgebras[J].Algebra，1992，145：1-21.

[2]LEITES D.Towards classification of simple finite dimensional modular Lie superalgebras in characteristicp[J].Prime Res Math，2007，3：101-110.

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[4]SHU B，ZHANG C.Restricted representations of Witt superalgebras[J].Algebra，2010，324：652-672.

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[11]XU X N，LI X J.Second cohomology of the modular Lie superalgebra Ω[J].Hacet J Math Stat，2014，43(5)：787-799.

[13]徐晓宁，卢亚男.关于Ω-型模李超代数[J].数学杂志，2015，35(3)：643-655.

[14]徐晓宁，张朝凤，张永正.模李超代数Ω的结合型与限制性[J].东北师大学报(自然科学版)，2009，41(1)：1-5.

[15]李明，徐晓宁.无限维模李超代数Ω的超导子代数[J].东北师大学报(自然科学版)，2014，46(3)：7-11.

(责任编辑：李亚军)

The gradation of modular Lie superalgebra of Ω-type

XU Xiao-ning，WANG Jin

(School of Mathematics，Liaoning University，Shenyang 110036，China)

It is proved that modular Lie superalgebra Ω isZ-graded Lie superalgebra.By using theZ-graded of Ω，a maximal subalgebra of Ω is determined.And it is shown that the representation of Ω0on Ω-1is irreducible.

modular Lie superalgebras；gradation；representation

1000-1832(2016)03-0001-04

2015-06-01

国家自然科学基金资助项目(11371182，11501274)；辽宁大学申请国家预资助项目(2014LDGY01)；辽宁省教育厅科学研究项目(L2015203).

徐晓宁(1976—)，女，教授，主要从事李理论研究.

O 152.5[学科代码]110·2130

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.001