“用（加法）估算解决问题”教学研究报告

长沙市岳麓区第一小学数学教研组　潇湘数学教育工作室

“用（加法）估算解决问题”教学研究报告

长沙市岳麓区第一小学数学教研组潇湘数学教育工作室

一、问题

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将第一学段的估算教学目标修改为“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”。人教版教材据此做了相应的调整，在三年级上册“万以内数的加法和减法（一）”这个单元增加了用估算解决问题的教学内容例4（如图1）。这个增加的教学内容，让教师们在教学实践中产生了众多的困惑与问题。

图1

（一）教学实践中的问题

1.学生不愿意估算。

大部分学生第一次面对本问题时，居然是先精确计算一至六年级的总人数，再通过比较判断是否坐得下，能想到用估算解决问题的学生很少。当教师在教学中提醒学生可以估一估再判断时，很多学生就先精确计算出223+239的得数，再将得数与座位数进行比较后作出判断。这一做法是典型的为估算而估算。

2.学生不会估算。

学生不能根据具体情境选择适当的估算策略，不知道什么时候估大，什么时候估小。以例4为例，同一个问题背景，已知条件不变，当求解的问题是“441个座位坐得下吗”，需要用“估小”法解决。如果求解的问题变成“470个座位坐得下吗”，又需要用“估大”法解决（如图2）。由于这种“估大”“估小”策略的选择全凭问题的需要，非常灵活，无规律可循，很多学生课上完后仍旧未能真正掌握。

图2

（二）对问题的再调查

以上两个问题是教师们在教学实践中普遍反映难以处理的问题。学生的真实情况又是怎样的呢？为此，我们在三年级451名学生中进行了学习前的问卷调查。随后，我们选取了一个班的66名学生，按照教材的编排进行了教学，课后也进行了问卷调查。下面两表分别是前测（见表1）和后测（见表2）的统计结果。

表1

表2

从两次调查问卷的统计结果看，教师们反映的两个问题不但集中存在，而且比较严重。在学习前的调查中，当问题中没有“大约”两字时，选择估算解答的学生不超过15%。在后测调查中，居然有50%的学生采用“四舍五入”求近似数的方法解决“够不够”的问题。

（三）对问题的分析

1.学生不愿意选择估算解决问题的原因。

要解决例4的问题，需要比较223+239与441的大小。而对三年级的学生来说，计算出223+239的得数并不困难，有的学生甚至可以口算出结果。因此，估算与之相比并没有什么优势可言。这是第一个原因。第二个原因，如前所述，当教师把问题呈现在学生面前时，很多学生并不具备用估算解决此问题的能力，就更谈不上选择估算解决该问题了。

2.学生用估算解决“够不够”问题时的常见错误及原因分析。

在例4的教学中，学生常见的典型错误就是采用“四舍五入”求近似数的方法解决问题，导致将两个加数一个估大、一个估小，推理不符合逻辑。比如：223≈220，239≈240，220+240=460，而460＞441，所以223+239＞441，坐不下。

我们认为原因有以下两点。

（1）用估算解决“够不够”的问题有着鲜明的特殊性。它不同于以往常见的求近似数的估算问题，然而学生对此并没有充分的认识。常见的估算问题一般以判断一个估算对象近似等于多少为目标，比如，“估一估操场上有多少人”，“估一估一个不规则图形的面积有多大”等。此类估算问题在不增加计算复杂程度的前提下，结果总是越精确越好。

但是教材上这类“够不够”的问题，估算的目标不再是判断一个估算对象（近似）等于多少，而是通过估算得出两个数据之间的大小关系。一般会用到不等式的性质：a＞b，b＞c，所以a＞c。此时，找到比较桥梁中的中间数b是问题的关键，估得准确与否对解决问题已经没有任何帮助了。但是，学生仍然延续以往的习惯，继续用求近似数的思维来解决问题，碰壁也就在所难免了。

（2）用估算解决“够不够”的问题需要用到两个常见的估算技巧：“去尾”法和“进一”法。从实际教学效果来看，学生并没有掌握这两种技巧，而是将这两种技巧与“四舍五入”求近似数的方法混淆在一起。

（四）解决问题的策略

1.巧设情境，化“不愿估”为“必须估”。

一般来说，用估算解决问题主要适用于以下两种情形：（1）没有必要精确计算；（2）无法精确计算。教材将例4编排在整百、整十数加减法之后、三位数笔算加法之前，其用意原本就是趁着学生还不会精确计算的时候，逼着学生用估算解决问题，体现估算的价值。然而事与愿违，实际教学中，大部分学生凭着两位数加法的基础，竟然都无师自通地精确计算出223+239的结果，使得教材的编写意图落空。针对这种情况，为了切实将学生逼入无法精确计算的境地，我们可以通过创设情境，想办法将两个加数中的某个数字盖住。

2.聚焦问题，改进板书，凸显推理过程。

例4这类“够不够”的问题实质就是一个比较大小的问题。人数比座位数小，则够坐；人数比座位数大，则不够坐。只不过我们没有必要精算出总人数，通过估算就能比较两者之间的大小关系。我们必须自始至终让学生明白，估算的目标是比较大小。

因此，在教学实践中，当教师抛出问题后，就应该问学生“什么情况下就够，什么情况下又不够”。接着将需要比较的算式223+239与目标数441同时板书（见图3-1）。因为学生只有同时观察算式与目标数，才有可能发现此时应该将223和239同时估小。很多教师在教学时往往只板书算式223+239（见图3-2）就让学生判断估大还是估小。由于看不到比较对象441，学生往往就采用“四舍五入”求近似数的方法进行估算了。这虽然只是一个细节，但很关键。

图3-1

图3-2

解答例4时，学生最容易犯的错误就是将两个加数中的一个估大，另一个估小。我们可以从改进板书入手解决这一问题。教学实践中，下面两种板书比较常见（如图4）。

图4

图5

这两种板书虽然简洁美观，但未能呈现数据之间的大小关系，学生难以把握其中蕴含的推理过程。不如将“≈”“↓”等符号换成“＞”“＜”（见图5），将数据之间的大小关系清晰地板书。即便此时学生再犯“一个加数估大，另一个加数估小”的错误，也会因为黑板上“＞”“＜”的不统一而很快发现问题。

二、实践

基于以上认识，我们设计了一个“翻卡片比大小”的游戏，让学生在游戏中逐步学习和体会用估算比较大小的策略，再运用这个策略解决教材中的实际问题，在解决问题的过程中进一步感受估算的价值。

1.巧妙设计游戏，在比较大小的游戏中体会估算策略。

师：同学们，上课之前我们一起玩一个与数字有关的游戏——“快速比大小”。在黑板上贴的每张笑脸后面都有一个数字，它们是两个三位数。一人选一个，快速比较它们的大小，谁选的数大，谁就赢。明白吗？

（生选了右边的三位数）

师：要想快速地赢高老师，你打算翻哪一张比较大小？（生指百位上的卡片）为什么？

生：因为它在百位上。

（师生分别翻开百位上的数字）

师：谁赢了？

生：学生赢了。

师：不是还没有比较完吗？你们怎么能判断他赢了呢？

生1：无论你是200多少，反正比300小。

生1：是的。

生2：肯定比300大。

（生选择算式，师翻开右边的三位数卡片，是900）

师：谁赢了？

生：高老师赢了。

师：你是怎么判断高老师赢了的？说说你的想法。

生3：因为这个数比300小比400小，所以它们的和一定比700小，比900就更小。

师：还有愿意和我比大小的吗？（师重新贴出右边的三位数卡片，生选择算式）

师：（翻开右边的三位数卡片，是510）谁赢了？

生：不确定。

师：怎么办？

生：任意翻开一个加数十位上的数字。

生：学生赢。

师：你们是怎么判断的？

生4：估小是200估小是360，200+360=560，比510要大。那么比510更大。

师：还有要挑战我的吗？就剩最后一个了。（师继续贴出右边的三位数卡片，生选择算式）

师：（翻开右边的三位数卡片，是600）谁赢了？

生：还不能肯定，目前来说是老师赢了。

师：说说你们的想法。

生5：虽然两个数的和现在比600小，但如果后面出现的数字是5，6，7，8，9，那就是学生赢了。

师：那怎么办？

2.运用策略解决实际问题，在解决问题中感受估算的价值。

课件出示：小明一共挑选了197元钱的商品，小芳挑选了289元钱的商品，他们两人一共准备了500元钱，够吗？

师：此题实际上是要我们解决一个什么问题？

生6：小明和小芳买东西共花的钱和准备的500元钱够不够的问题。

师：它的实质是要我们干什么？

生7：比大小。

师：谁和谁比较？

生7：197+289的和与500比较大小。

师：谁能用最快速的方法比较出这两个数的大小？

生8：够，因为197+289小于500。

师：说说你是怎样快速判断的。

生8：197估成200，289估成290，200+290=490，490＜500，所以够。

师：将197估成200，197比200大还是小？

生：小。

师：同样地，将289估成290，289比290是大还是小？

生：小。

师：200+290=490，换句话说，也就是197+289＜490，和500相比就更加小。原来解决“够不够”的问题也可以通过估算的方法快速比较它们的大小，从而知道够不够。

课件出示：巨幕影院有441个座位。一到三年级有223名学生，四到六年级有239名学生。六个年级的学生同时看巨幕电影，坐得下吗？

师：问题的实质是让我们干什么？

生9：比较人数和巨幕影院的座位数。

师：你们能帮助我解决问题吗？请同学们独立思考，看谁最快判断出座位数够还是不够。

（生独立思考）

师：谁来说说你是怎样解决这个问题的？

生10：223估算成220，239估算成230，220+230= 450，精确值肯定大于450，也就比441更大，因此座位数不够。

师：将223估成220，将其估小了，将239估成230也估小了，而220+230=450，很明显450＞441。

设计意图综述：

本教学设计由一个“翻卡片比大小”的游戏展开，这个游戏是本教学设计的核心，对整个教学的推进起到了一石二鸟的作用。

首先，在“翻卡片比大小”时，由于总有数字被卡片盖住，学生无法精确计算出结果，就不得不通过估算比较大小。在整个游戏环节，教师一共抛出了4个比较大小的问题，学生在解决这4个问题的过程中，不但体会到了估算的价值，而且逐步掌握了用估算解决此类问题的策略和方法。在这之后，当教师出示教材的实际问题时，学生由于已经具备了解决此类问题的经验和能力，就愿意选择估算来解答了。

其次，本游戏在化解学生常见估算错误的同时，还巧妙地渗透了估算方法的训练。我们知道，解决此类问题需要学生正确使用两种估算技巧，“去尾”法和“进一”法。在解决实际问题时，对于同一个数，比如238，有时需要采取“去尾”法将238看成230，有时又需要采取“进一”法将238看成240。但是，由于个位数字“8”的影响，学生往往总是倾向于采取“进一”法将238看成240，因为240离238近些。如果估算的对象是“223+239”，就必然会估算成“220+ 240”，这就犯了将加数一个估大、另一个估小的典型错误。而在“翻卡片比大小”游戏中，由于数字“8”被盖住了，学生无法通过“四舍五入”法求近似数，只能根据实际问题的需要选择是用“去尾”法还是“进一”法。反复几次“翻卡片比大小”的游戏之后，学生在潜移默化中接受了这两种估算技巧，为接下来解答教材上的实际问题奠定了坚实的基础。

三、讨论

1.教材的教学要求是否过高？

为了解决例4提出的问题，教材提供的解答是这样的：

223＞220，239＞230，220+230=450，223+239一定大于450，坐不下。

我们将其中的推理过程略加抽象就是：因为a＞m，b＞n，所以a+b＞m+n，又因为m+n＞c，所以a+ b＞m+n＞c。这其实就是不等式证明中常用的技巧——放缩法。解答过程中需要对两个加数同时进行放缩，而且必须同时放大或缩小（否则推理过程就不符合逻辑）。我们认为，对小学三年级的学生来说，掌握这样的技巧未免要求太高，为时过早。

其实，在新人教版三年级上册第70页还有一个“用乘法估算解决问题”的教学内容（如图6）。

图6

同样是一个用估算解决问题的教学内容，却没有教师反映“内容太难，学生学不会”之类的问题。仔细比较这两个问题，我们不难发现，“用加法估算解决问题”需要同时对两个加数进行放大（或缩小），而在“用乘法估算解决问题”中，只需对其中的一个因数进行放大（或缩小）。以上题为例，因为29人＜30人，而30人购票需要30×8=240（元），又因为250元＞240元，所以带250元够了。由此证明，三年级学生能轻松处理只需对一个数进行放缩的问题，却难以处理像例4这样需要对两个数同时进行放缩的问题。

事实上，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第一学段关于估算教学只提供了一个实例（如图7）。巧合的是，它也是一道乘法估算题，而且解决它也只需要对其中一个因数进行放缩即可：显然987人＜1000人，而1000人购票需要1000×8=8000（元），所以带8000元够了。

图7

基于以上理由，我们认为，新人教版三年级上册增加的“用（加法）估算解决问题”对学生的要求过高。

2.能否调整教学目标，仅仅要求学生“能通过估算大致判断够不够”？

现实生活中，我们同样会遇到需要判断够不够的情形，有时我们仅仅只做一个粗略的判断，比如，“差不多够了”“应该够了吧”，这种近似的回答也是很有价值的。与之相应的，在教学中，我们能不能将例4的教学目标调整为能大致判断够不够即可呢？比如，是否允许学生这样解答：把223估成220，239估成240，而220+240=460，所以不够。我们知道，这样解答是存在风险的，逻辑上并不成立。但是这种粗略的判断既符合现实生活的某些场景，又体现了估算的一般特点。所谓“估”，不就是大致判断的意思吗？问题在于，一旦允许学生这样解答，势必会让学生落入采用“四舍五入”求近似数的方法进行估算的泥沼。而学生一旦习惯用“四舍五入”求近似数的方法解决此类问题，就再也不会关心问题的具体背景。这恰恰是我们最不愿意看到的情况。关于这个问题，直到研究结束，我们都未能得出清晰的结论。

3.一个好的估算素材应该具备哪些特点？

在估算教学中，一个合适的教学素材对教学目标的达成起着决定性的作用。我们认为，一个好的估算教学素材应该满足以下两个条件：（1）精算复杂（或无法精算）；（2）估算简便且能解决实际问题。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提供的估算实例（例6）就是一个很好的范例（见图7）。该例如果直接精确计算987×8的得数就比较复杂，而采取估算解决却非常简单，充分体现了估算的价值。

比较而言，新人教版三年级上册第15页例4“用估算解决问题”（见图1）显然就不是一个很好的估算素材。因为，如果直接精确计算出总人数，再判断座位够不够并不复杂；相反，用教材提供的估算方法解答时，推理过程却显得格外复杂，学生难以掌握。

在估算教学中，我们经常指责学生缺乏估算意识，埋怨学生只有看到题目中出现“大约”二字时才想到估算，为估算而估算，却很少有人反思我们的估算教学本身是否出了问题。我们在估算教学中常常提供一些不好的估算素材，然后想当然地逼着学生去估算。学生由于在解决问题的过程中未能真正体会到估算的价值，就无法将估算内化为自觉的行为。这个问题应该引起我们足够的重视。否则，“培养估算意识”“结合具体情境，选择适当单位，体会估算在生活中的作用”等课程目标都会成为一句空话。

（执笔：高业波、郑志刚）