数学认知思维序与有效教学策略（下）

邓友祥

数学认知思维序与有效教学策略（下）

邓友祥

3　培养初中生良好数学认知思维序的有效教学策略

所谓良好的数学认知思维序，就是指学生的认知思维处于有序的强逻辑状态。弗赖登塔尔认为，“只有用逻辑关系建立结构，它才成为数学，而这个过程就是数学化”，“如果将数学解释为一种活动的话，那就必须通过数学化来教数学、学数学”。［3］

据此观点，要使学生形成良好的数学认知思维序，必须将对学生数学学习活动的心理顺序的研究真正深入到数学教学活动之中，加强“高层次数学思维”研究。［4］比如，引导学生正确表征数学问题，向学生提供具有探索性和思考性的数学学习任务，给学生尽可能多的将已有学习题材转化为数学内容的“数学化”机会，引发学生深度的数学思考，重视学生之间的合作交流，加强学生抽象概括和数学反思能力的培养，逐步发展学生的逻辑结构，不断提高学生的数学学习效率和数学思维能力水平。

3.1引导学生正确表征数学问题

就数学学习而言，数学问题表征是指根据数学问题所提供的信息和自身已有的知识经验，发现问题的结构，构建自己的问题空间的过程，也是把外部的物理刺激转化为内部心理符号的过程。数学问题表征既是学生对数学问题的理解和内化的过程，也是数学问题在学生头脑中的呈现方式。有研究表明问题的适当表征与问题的成功解决之间存在正相关；［5］不当表征与解题成绩成负相关。［6］由此看来，数学问题表征是数学问题解决的核心和关键，这是学生形成良好数学认知思维序的重要基础。学生一旦确定了合理的方式表征问题，就形成了一个良好的问题空间，从而有助于问题的解决。这就要求教师在平时的数学教学中，要重视加强对学生的数学语言（文字、符号、表格、图形等）表达能力的培养，使学生逐步做到从引来别人的言语到自行思考表达，重视数学文字语言与数学符号语言的互译，以及让学生口述命题（定理）的完整证明过程（思路）等“说题”训练，促使学生形成良好的数学认知思维序，加深对数学知识的理解。

有必要指出的是，数学问题是具有相对性的，其在学生头脑中的呈现方式也会有所不同。同一个数学问题，对有的学生来说可能不构成问题；相反，一般人认为不成问题的问题，对有的学生来讲，有时反而构成问题。所谓不构成问题，即能将已知的知识、概念、公式、法则、定律等直接运用于新的情景；所谓构成问题，即要转换和组合已知的知识、经验等，才能达到既定的学习目的。因此，同一数学问题对不同的学习主体来说会有不同的表征，因而也就会呈现出不同的学习结果。比如，要求学生解答“求|x-1|+|x-3|的最小值”这一问题时，如果习惯于用绝对值的定义来解（表征）此问题，不仅分类讨论使得问题解决过程繁琐，还涉及函数、不等式等知识的综合运用，即便是对部分初三学生而言，也可能会构成问题；而对能将此问题进行如下几何表征的大部分初一学生来说反而不构成问题，即根据绝对值概念的几何意义就是距离，假设数1、3在数轴上对应的点分别为A、B，进而此问题可转化（表征）为“在数轴上寻求一点（线段AB上任何一点均可），使得该点到A、B两点的距离之和最小”的问题。

因此，在平时的数学教学中，教师要重视帮助学生剔除背景知识经验、智力水平、认知特性、动机强度、气质性格等影响数学活动效果的因素，以有助于学生正确地表征数学问题。

3.2引发学生深度的数学思考

美国教学法专家理查德·萨奇曼认为，人具有天生的对陌生事物或是疑难问题本能地进行研究的倾向，这是一种内在的心理探究欲望。众所周知，数学知识学习难度与数学学习活动强度密切关联，缺乏难度（较强思维性）的数学学习，易使学生注意力分散、思维逐渐僵化、意志力差、兴趣差。学生只有在高强度的数学认知活动中，才能发展起高质量的认知品质，从而有助于建立良好的数学学习活动的心理顺序。

为了引发学生深度的数学思考，确保数学学习活动的有效性，根据维果茨基的“最近发展区”理论，数学教学应该向学生提供挑战性认知任务。挑战性认知任务是指那些稍微超出学生能力，但在老师的帮助下可以完成的任务。维果茨基认为，教学要重视学生“学习的最佳期限”，不应盲目拔高和迟滞，以免错过“最近发展区”。这就要求教师在进行数学教学设计和实施教学时，必须考虑学生现有的数学思维水平层次，所提供的数学教学内容或任务应该能给学生造成积极的认知冲突。［7］

由此看来，数学教师在设计数学活动教学时，所选择的问题及安排的数学活动不仅要适合于学生现有的数学思维水平，更应考虑到促进学生的数学思维向下一个数学思维阶段发展，即不仅要考虑到学生数学思维能力水平的限制，还要考虑到数学思维发展的潜力。比如，教学“正比例函数、反比例函数”后，我们曾向初中学生出示过如下具有开放性的问题：“现有浓度为35%的盐水40千克，要将它配制成浓度是50%的盐水，你有什么办法？”实践表明，在充分暴露学生数学思维过程的同时，学生的思维空间得到了较大拓展。他们有的采用加盐（溶质）的方法来提高浓度；有的采用蒸发掉一部分水（溶剂）的方法来提高浓度；有的采用“一定量的浓度高于50%的盐水”与“浓度为35%的40千克盐水”混合制成浓度是50%的盐水。这样的教学，为学生充分发挥想象、推理，作出多种不同解答，提供了充分活动（思维活动）的机会，符合维果茨基的“最近发展区”理论，有助于学生的数学活动水平由知识经验层次上升为逻辑层次，促使学生的数学思维得到良好的有序发展。

3.3促进学生逻辑结构的发展

弗赖登塔尔认为“数学教学不要教孤立的片段，应该教连贯的材料，这个观念从原则上看是正确的，因为有联系的事物学得快，记得牢”，［3］“逐渐形成和发展学生的作为数学活动基础的那些逻辑结构是数学教学最重要的手段”。［8］

上述观点要求在平时的数学教学中，教师不能孤立地、片面地、静止地处理数学教材，而应抓住数学知识内在的逻辑结构，注重知识间的纵横联系，以整体的思想来组织处理教学内容，引导学生认识与理解数学的本质。在横向方面，着力引导学生比较新旧知识之间的内在逻辑关系和区别，促使学生将已有数学知识自觉形成“竖成线、横成片”、“由点构成线、由线构成面”的融会贯通的逻辑结构；在纵向方面，要致力于揭示数学知识之间的上下从属关系，弄清所学数学知识的“序”与“流”，以有助于学生深刻把握所学数学知识。

例如，教学过有理数后，应及时引导学生将本章节主要内容进行如下归纳整理（如图3）。

图3

这样的教学，既有助于发展学生的逻辑结构，又能使学生的数学思维向较高的概括化水平发展。

3.4向学生提供合理的数学学习支架

维果茨基认为：“教师在向学生提供有效认知任务的同时，还应该提供合理的学习支架，使学生可以借助支架参与问题解决并获得意义上的理解，从而确保教学获得最大效益。”［1］

据此观点，所应采取的教学方式，其实质是通过支架（教师的帮助）把管理学习的任务逐渐由教师转移给学生自己，最后撤去支架。这就要求在平时的数学教学中，教师应将监控学习和探索的责任逐步向学生转移，在突出学生发现活动的同时，针对学生认知水平层次的差异性，提供合理的数学学习支架，并逐渐减少指导成分，使学生尽可能地达到“独立发现”的地位。

例如，“锐角的正切”这部分内容的教学目标是：使学生发现直角三角形中锐角与两直角边的比值之间存在一一对应关系，认识到用直角边的比值刻画一个角的大小的合理性，正确理解正切函数的概念，并受到具体问题具体分析的辩证唯物主义观点教育，训练学生思维的严密性和灵活性，培养学生初步的空间观念和综合运用知识的能力。南京市一位优秀数学教师在全国初中数学优质课某次大赛中，设计了如下实际问题情境，让学生思考：你能比较如图4中两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？

图4

待学生思考、讨论，初步得出判断哪个梯子更陡，可以采用从台阶的高度与水平方向的长度进行比较，也可以考虑梯子与地面夹角的大小等方法后，教师向学生提供了如下问题（学习支架）让学生探究，自主发现规律：如图5，有6个梯子，你能按照陡峭程度排个序吗？能用某个数量刻画这些梯子的陡峭程度吗？

图5

笔者认为，该教师针对初中学生数学思维活动水平（空间观念）的层次差异，不仅向学生提供了有效的数学认知任务，所提供的学习支架也是合理的。实际教学中，所有学生都能比较部分梯子，获得探究的成功。学生的自主表现主要呈现出如下三种不同层次的数学思维活动水平（A、B、C由低到高）。［9］

A思维活动水平（直观水平）的学生：只选择“等高”（如①②）或“等底”（如③④）进行探究，结果发现“等高”的两个梯子中底边短的反而陡，“等底”的两个梯子中高长的反而陡。这一层次水平上的学生，只能认识眼前有形的、实在的事物。

B思维活动水平（经验水平）的学生：能在完成A水平任务的基础上，发现②③“等比”，并进一步将难以比较的转化成容易比较的情况，如“将⑤中的高和底都缩小一半，就可以和②比较了”“⑥中高和底同时缩小3倍，就可以和③或④比较了”，从而得出6个梯子的陡峭顺序，进而得出“梯子的陡峭程度肯定与直角三角形的两直角边有关，或与直角三角形的锐角有关”，但还不能用准确的数量来刻画。处于这一层次水平上的学生，认识事物往往只能依靠已有经验（经历事实或信息+直觉）来完成，有时虽可作出预测性的认识，但准确性较差。

C思维活动水平（逻辑水平）的学生：能在完成B水平任务的基础上，通过逻辑推理，归纳得出“在直角三角形中，锐角与两直角边的比值之间存在一一对应关系”，这对建立函数模型，引入正切概念，可谓水到渠成。处于此层次水平的学生，应该能够（或说应该能达到）依据概念、规则和相关程序步骤，通过逻辑推理得出科学结论，这是仅凭经验、观察得不到的事实。

需要说明的是，尽管允许学生自主选择不同水平层次的问题解决方法，但上述A、B两个层次的结果毕竟不是教学的最终结果，这就要求教师进行教学时，要适时引导学生进行合作交流，使处于A、B层次水平的学生在问题解决过程中不断针对学习目标进行自我调节，最终上升到C层次水平。这样的教学符合维果茨基的“最近发展区”理论，有助于促进学生的数学思维活动水平由直观层次或经验层次上升为逻辑层次。

3.5加强同级生之间的合作交流

实践教学研究表明，同级生（同学）之间产生的智慧，能促使初中生主动接受他人观点、主动分享他人情感，自主合作与交流是初中生一种较为有效的数学学习方式。初中生之间充分的有效合作交流学习，对调整自己的数学学习活动的心理顺序，并促使其向良好数学认知思维序方向发展有着较显著的作用。

上述结论源于多年前笔者的实证研究：某次，我们曾对本市S校初二两个平行班（简称为甲、乙班）共94名学生进行了如下测试。［10］

②已知x2-4x-9=0，求x5-4x4+2x3-6x+1的值。

测试方法：第一步，先出示第①题，让两个班的学生各自独立解答，要求学生除了用一般方法（直接代入法）解以外，尽可能用简便方法解，并收齐练习结果；第二步，将学生所采用的简便方法（如果有的话）在本班予以公布，并讨论交流，在此基础上再出示第②题，要求两个班的学生各自再独立解答，并收齐练习结果。

测试结果：第①题，甲班学生几乎都是采用直接代入法等方法来解的，无一人想到巧妙解法；乙班有2名学生想到了如下巧妙解法：因为，所以所以x2-4x-6=0，所以x2-4x+6=（x2-4x-6）+12=0+12=12。此种方法蕴含了整体思维这种重要的数学思维方法。

第②题，甲班绝大多数学生采用了一般解法（如先由条件直接求出x的值，再用代入法解等），采用类似于第①题的巧妙解法（简便方法）的人数仅占4%，乙班采用类似于第①题的巧妙解法（简便方法）的人数百分比高达87%。

上述结果中，乙班学生解答第②题时采用巧解（简便方法）的人数百分比远高于甲班。这是由于在解答第①题时，乙班有2名学生（而甲班无1人）运用了巧解，使其余学生受到了启发。

鉴于上述测试只是一则，其研究结果可能会带有较大的局限性，因此，为了得到真实可靠的结果和采取有效的做法，近几年，我们曾不定期对本市十多所城镇初中进行了随机听课与调查、个别访谈研究。整个研究过程，除个别访谈外，随机听课共32节，其中学生出现闪光点（新思想、新思路等）的课有9节。仅就这9节课而言，平均有10.6%的学生首次独立出现了闪光点（最高达17.8%）；经小组讨论等合作交流学习后，受他人观点启发而产生闪光点的人数百分比平均为32.5%（最高达46.7%）。

上述研究结果表明，同级生之间充分有效的合作交流，不仅可以使初中生有更多的机会对自己的观念进行表述和辩论（反省），还能学会如何聆听别人的意见并作出适当的评价，适时调整自己的数学学习活动的心理顺序，使自身的数学认知思维序向有助于问题解决的良好方向发展。

这就要求在平时的数学教学中，教师要善于引导学生多进行合作交流，重视预设后的生成，关心学生所提出的问题，帮助他们用数学的思维方式数学地理解和解决数学问题。同时，要善于捕捉学生智慧的火花，并让其闪光，以有效地发挥“同伴教学”的作用，有效地促进学生的数学学习，促使学生迸发出创新的火花。

加强同级生之间的合作交流学习，通常可有如下几种做法：一是建立融洽的师生关系，活跃学生思维，使学生大胆交流、乐于发表意见、敢于创新；二是向学生提供自主、宽敞的学习时空，使学生有机会交流；三是发挥表扬和激励功能，使学生乐于交流。

3.6加强数学反思能力的培养

学生解题（尤其是解答陌生的或较难的问题）受阻是常有的事，此时，教师应重视引导学生进行批判性回顾，克服学生思维性干扰（思维定式、思维无序、思维乱序等）带来的弊端。有效的数学教学要重视在实际操作中培养学生的反思习惯和反思能力，尤其要重视培养学生的独立思考能力。这是数学内化的需要，也是学生了解、认识自己获得数学学习经验、思想、方法的需要，以及不断调整自身数学学习活动的心理顺序的需要。

研究表明，初中生在数学问题解决方面所表现出来的差异，主要来源于思维策略上的差异。优等生在问题空间的搜索中，更善于捕捉启发信息，能更快地从试误策略转化为启发式搜索策略。进行思维策略训练的重要任务，就是要加强学生“元认知控制”能力的培养，解题后的反思是培养学生“元认知控制”（计划、监视、调节）能力的有效策略。［11］因此，数学教学应从数学学科特点的角度出发，对学生的数学认知活动进行深入研究，引导学生在进行认知活动的过程中，将自己正在进行的认知活动作为意识对象，不断地对自身进行积极的、自觉的监控和调节，进行批判性回顾，有效提高自身的数学认知思维能力。

反思，通常可从如下几方面入手：反思所运用的概念、规则的正确性；反思所采用的解题策略是否合理或最优；反思数学问题本身有无可利用的隐含条件；反思解题表达是否规范等。

总之，要在学生常犯错误的关键之处，适时地引导学生去反思、回顾，培养学生的批判性数学思维品质，达到正确解题的目的。这样有助于学生养成独立思考、善于提出疑问、及时发现并纠正错误的良好习惯，不断提高学生对认知活动的自我意识和自我控制能力。（基金项目：江苏省重点建设一级学科——数学（JSXK201301），江苏省高等教育教改研究重点立项课题——MPCK（MPCA）视阈下数学本科专业教师教育课程设置研究（2015JSJG059））

（作者单位：江苏省泰州学院）

［1］赵艳芳.认知语言学概论［M］.上海：上海外语教育出版社，2001：3.

［2］张炼强.语言和言语活动的认知思维理据——兼论认知思维与逻辑思维的关系［J］.首都师范大学学报（社会科学版），2007，（02）：99-114.

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［11］陈琦，刘儒德主编.当代教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，1999：198-199.