几何分布定数截尾步加试验的最优设计*

金莹

（河南财经政法大学统计学院，河南　郑州　450046）

几何分布定数截尾步加试验的最优设计*

金莹

（河南财经政法大学统计学院，河南郑州450046）

在逐步type-II结尾场合下，研究产品简单步进应力加速寿命试验的优化设计。假定产品服从几何分布，讨论了几何分布产品加速方程如何建立，利用次序统计量的大样本性质，得到相应的Fisher信息矩阵，以对数特征寿命极大似然估计的渐进方差最小为准则结合Fisher信息矩阵，给出了步进应力加速寿命试验的最优分配比例，通过模拟验证最优设计的有效性。

几何分布，定数截尾，步加试验，最优设计

0　引言

在可靠性理论的研究中，几何分布由于其无记忆性，常用来描述产品（如开关等）的寿命。依靠科技进步，许多产品的寿命大幅增加，若想快速得到产品寿命数据，就需要进行加速寿命试验。本文讨论的是以几何分布产品对数特征寿命MLE的渐近方差最小为原则，定数截尾步加试验应力的最优设计。

1　最优设计

设G（p）表示参数为p的几何分布，X表示几何分布产品的寿命，X～G（p）即：

设有n个产品进行试验，寿命分布为X～G（p）。首先在应力水平S1下试验，当有r1=［nπ1］个产品失效时，将应力水平提升至S2，当又有r2=［nπ2］个产品失效时结束试验。其中π1+π2=πc，πc为事先设定好的未失效比例。

设计的原则：给定S2、S0（设计应力）、πc和n，找到使产品在S0下的对数特征寿命ln t的MLE的渐近方差AsV ar（ln tˆ）达到最小（精度达到最高）的S1及在S1、S2上的样本数目比例π1、π2。

基本假设I在应力Si下，产品的寿命Xi（i=1，2）均服从何分布，即Xi～G（pi）。

加速系数：在应力Si和Sj下，设可靠度为R的可靠寿命分别tRi和tRj为，则比值

称为Si对Sj的R可靠寿命的加速系数。

由上可知，加速系数与两应力Si、Sj下产品的分布和可靠度R有关。但是，工程实践的要求加速系数是与R无关的常数。

几何分布的可靠度R为：

与R无关的常数，满足要求。

其中，a、b为未知参数，φi为应力Si的已知函数。

基本假定III（Nelson的假定或累积损伤（CE）模型）：产品的剩余寿命试验时的应力水平及试验时已经累积失效的部分，与累积方式无关。

即：FSj（tj）=FSi（ti）

容易得到似然函数为：

设Ff为a，b的Fisher信息阵，有

Ff中4个元素的计算非常复杂，可以利用以下结论来简化问题。

证明：由陈希孺［4］定理4.4可证。

引理2：（Lehmann，E.L.（1998））若随机变量序

令随机变量Z的分布为Φ（·），I（·）为示性函数。

证明：（1）、（2）由引理1，2立得。

其中，Ff由前确定，Ft表示在应力水平S1上试验至时刻ξ，再将应力水平提升至S2继续试验到时刻时止试验参数为a，b的Fisher信息矩阵。

由于本文中的最优设计是基于大样本得到的，因此，最优设计时将用Ft来代替Ff。此时试验预先给定的不再是截尾时间 ，而是失效比例πc，因此，Ft为πc的函数矩阵，仍用Ai表示Ft矩阵元素。

沿用前面的记号，可得

其中

于是，似然估计的Fisher信息阵为

从而可得到产品在正常应力水平S0下的对数特征寿命MLE的渐近方差为：

上式中对S1，π1求导就可以得到使方差最小的设计S1，π1（可用数值方法得到的最优应力水平S1和最优分配比例π1）。

图1　方差与设计应力S1、分配比例π1的关系曲线

2　实例

解：最优设计

当初始应力S1=473K，应力S1下的最优分配比例π1=0.465 8，此时设计应力S0产品特征寿命的方差35.977 9；

当初始应力S1=463K，应力S1下的最优分配比例π1=0.504 3，此时设计应力S0产品特征寿命的方差12.898 6；

当初始应力S1=453K，应力S1下的最优分配比例π1=0.551 1，此时设计应力S0产品特征寿命的方差5.726 8。

3　结论

以几何分布产品对数特征寿命MLE的渐近方差最小为原则，通过本例模拟，获得了定数截尾步加试验的最优设计，验证了文中结论的有效性。

［1］杨宇航，周源泉，加速寿命试验理论基础（I）［J］.推进技术，2001，22（4）：276-278.

［2］杨宇航，周源泉，加速寿命试验理论基础（II）［J］.推进技术，2001，22（5）：354-356.

［3］金莹，张立，几何分布定时截尾简单恒加试验的最优设计［J］.新乡学院学报：自然科学版，2008，25（2）：16-18.

［4］徐晓岭，几何分布产品定数截尾场合下参数的点估计［J］.强度与环境，2009，36（2）：51-63.

［5］王蓉华.几何分布产品参数的近似点估计［C］//中国现场统计研究会第十二届学术年会论文集，2005.

［6］茆诗松，王玲玲.加速寿命试验［M］.1版.北京：科学出版社，2000.

［7］陈希孺.高等数理统计［M］.1版.北京：中国科学技术大学出版社，1999.

Optimum Design for Geometric Distribution of Step-stress Accelerated Life Testing Under Type-IICensoring

JINYing
（Henan University of Economics and Law，Zhengzhou 450046，China）

This paper considers the optimum design of simple step-stress accelerated life tests under progressive type-II hybrid censoring.In the case that discuss establishment of the Accelerate equation，using large sample properties of order statistics，the corresponding Fisher information matrix are derived.Then the optimum allocation ratio is obtained under asymptotic variance criterion.the plan is proved effective through the example.

geometric distribution，type-II censoring，step-stress accelerated-testing（ALT），optimum design

O212.6

A

1002-0640（2016）08-0174-03

2015-06-15

2015-07-07

国家青年基金（11301332）；2014年度河南省教育厅人文社会科学研究基金资助项目（2014-gh-556）

金莹（1980-），女，河南新乡人，讲师，硕士。研究方向：数理统计、经济统计研究。