3-PSP并联机构雅克比矩阵及刚度分析

山西中北大学机械与动力工程学院　　王明亚　李瑞琴　随磊

3-PSP并联机构雅克比矩阵及刚度分析

山西中北大学机械与动力工程学院王明亚李瑞琴随磊

本文研究了3-PSP并联机构的运动学逆解及雅克比矩阵，并求解了该机构的刚度矩阵模型。首先对机构进行描述，建立相应坐标系；利用闭环矢量法得到该机构的逆解约束方程；对约束方程求导，可得其速度雅克比矩阵；以雅克比矩阵为基础求解其刚度矩阵。

3-PSP；运动学逆解；雅克比矩阵；刚度

前言

少自由度并联机构近些年来成为机构学的研究热点。3-PSP空间并联机构是少自由度并联机构的一类，具有少自由度并联机构的传统优点，并有其独特性，目前研究和开发得还很不充分。邓飞等［1］建立了3-PSP空间并联机构的模型，得到了该并联机构位置正解方程，得出了其位置关系解。利用ADAMS对其进行了仿真分析，验证了位置计算方程的正确性。黄鹏等［2］建立了3-PSP机构运动学模型，进行了包括伴生运动和被动关节变量的完整运动学求解。对3-PSP机构的关节行程、速度特性和精度进行分析，证明该机构适用于混联结构中的并联模块，能够满足航空、航天、汽车等领域复杂零件的加工需要。张志良［3］对3-PSP并联机构行进了详细的运动性能研究，主要包括：机构奇异性、工作空间和灵巧度等，并进行了仿真，为3-PSP的研究奠定了基础。

本文首先对机构进行描述，建立相应坐标系；利用闭环矢量法得到该机构的逆解约束方程；对约束方程求导，可得其速度雅克比矩阵；以雅克比矩阵为基础求解其刚度矩阵。

1　 3-PSP并联机构的描述与运动学逆解

1.1机构描述

3-PSP并联机构示意图如图1所示，3-PSP并联机构由动平台、静平台和三条PSP支链组成。动平台与静平台由相隔120°的三条支链连接，每条支链由一个驱动移动副（P）、一个被动球面副（S）和一个被动移动副（P）构成。如图1所示，在静平台上建立绝对坐标系｛A-xyz｝；在动平台上建立坐标系｛P-wuv｝。

图1　 3-PSP并联机构示意图

1.2机构运动学逆解

由图1可知，坐标系｛A-xyz｝中，设支链底A1、A2、A3为顶点的等边三角形的边长为a，则A到点A1、A2、A3的各矢量为：

坐标系 ｛P-wuv｝中，设动平台中心P到球面副中心Si（i=1，2，3）的距离为bi，则各矢量为：

坐标系｛A-xyz｝中，到对应支链球面副中心Si的矢量，即三条支链驱动杆的长度：

设动平台中心点P的矢量为：

不同坐标系之间的矢量变换可以通过旋转矩阵进行转换［4］。利用旋转矩阵ApR，可以将坐标系｛P-uvw｝中任意矢量转化到坐标系｛A-xyz｝中，ApR为：

式中，c为cos的简写，s为sin的简写，θ、φ、λ为坐标系｛P-uvw｝相对于坐标系｛A-xyz｝绕x、y、z的三个独立转角。

因此，坐标系｛A-xyz｝中，动平台中心点P到球面副中心Si的矢量为：

使用封闭矢量环法，每条支链都可以得到一条闭环矢量［5］：

将式（6）代入式（7），可得该机构的运动约束方程：

求解式（8），式中共13个变量，θ、φ、λ为已知输出变量，a为机构参数，可求得三条支链驱动杆的长度qi。

2　雅克比矩阵分析

运动学逆解约束方程等式两边求导可得输入和输出速度之间的关系，可得机构的雅克比矩阵。

机构运动约束方程（8）对时间求导得：

式中，qi和bi分别为第i个驱动杆和球面副的运动速率和分别为第i个驱动杆和矢量si的单位向量，为动平台的第i条分支相对第i个球面副的运动速率，ω为动平台的旋转角速度，vp为P的速度

假设特定矢量n垂直于矢量si，其单位向量为：

根据向量运算性质得：

矩阵形式为：

3　 刚度矩阵

由于所研究的机构为对称机构，各分支的刚度系数之间存在如下关系k11=k22=k33，可以变形为。

4　结论

本文研究了3-PSP并联机构的运动学逆解及雅克比矩阵，并求解了该机构的刚度矩阵模型，为今后该机构在混联机构中应用提供了理论基础和参考依据。

［1］邓飞，李文忠.3-PSP并联机构的空间位置正解分析［J］.机械设计，2009，26（1）：41-45.

［2］黄鹏，王立平等.新型3自由度并联机构运动性能及精度分析［J］.机械工程学报，2010，46（15）：1-7.

［3］张志良.三自由度3-PSP并联机构运动性能与仿真研究［D］.太原：中北大学，2014.

［4］黄真，赵永生，赵铁石.高等空间机构学［M］.北京：高等教育出版社，2006.5.