小题目中的大秘密

曹晓亮

(吴兴高级中学　浙江 湖州　313000)

邱为钢

(湖州师范学院理学院　浙江 湖州　313000)



小题目中的大秘密

曹晓亮

(吴兴高级中学浙江 湖州313000)

邱为钢

(湖州师范学院理学院浙江 湖州313000)

在各种类型的物理题目中，有一些小题目，形式是问答题或选择题，看起来比较简单，实际上求解时需要高深的物理知识和数学技巧，不大适合一般高中生.这些题目适合竞赛生、自主招考生，以及开设物理选修课的学生选做.我们从中学师生熟悉的两类追及问题出发，说明题目是如何逐步加大难度的.本文的重点是如何出题，即出题的思路和方法，而不在于解题.有的题目解法可以参照文献，有的题目难度很高，本文完稿时，也没找到合适的解法.

(1)第一类追及题目——多个追及者相互追逐

正三角形3个顶点上有3个蚂蚁(乌龟等)，互相盯着对方，以相同的速率追及.第1问：什么时候相遇？这个题目对称性太强了，正三角形，速率相等，完全可以利用对称性和相对速率来求解.第2问：它们运动的轨迹是什么曲线？这个一般的中学生回答不出来，物理素养好的学生可以猜出来(我们鼓励猜)，好学的学生可以自学大学的微积分求解.第3问是很简单的推广，没有实质性的进阶，把正三角形改变为正多边形，求追及时间和追及曲线.第4问就不一样了，从特殊到一般，任意三角形3个顶点上的追及者，速率当然也不一样了，问：能追到同一点吗？满足什么条件能相遇到一点上？这个点称为三角形的什么点？第4问的难度明显与前3问不一样，但是很可惜，文献上多的是前3问的各种解答方法，很少有第4问及其解答.第4问的解答可以参照文献[1].第5问是第4问的推广，任意三角形顶点上3个追及者，满足合适条件，是可以同时相遇到同一点的.那么任意四边形、五边形、多边形呢？第6问是前面5问的推广，以上追及者都在平面上，那曲面上的追及问题如何求呢？先从简单的开始，球面上的一个“等边三角形”.一个在北极，两个在赤道上，任意两个追及者的球面弧长相等.以相同的速率瞄准追及，追及时间是多少？追及曲线是什么形状？第7问是前4问的另一种推广，维度推广，蚂蚁、乌龟能爬，老鹰能飞.正三角形的维度提升到正四面体.问：一个正四面体，4个顶点上追及者以相同速率首尾追逐，追及时间是多少？追及曲线是什么形状？正三角形追及问题有解析解，正四面体追及问题有没有解析解？第8问是第7问的简单推广，任意四面体4个顶点上的追及者，满足什么条件能追到同一点上？这个点是四面体的什么点？

(2)第二类追及题目——猎狗追兔子问题

第1问是最简单、最经典也是最特殊的例子，起始时候，猎狗、兔子连线方向和兔子逃跑方向成直角，兔子始终沿着一个方向跑，猎狗始终盯着兔子，猎狗速率大于兔子速率，问什么时候能追到.第2问是对第1问的追问，兔子是朝着它的巢穴跑，猎狗能否在兔子跑到它的巢穴之前截住它？猎狗的追及曲线是什么？第3问也是第1问的推广，起始时候，猎狗、兔子连线方向与兔子逃跑方向不再是直角，而是钝角，还能追上吗.第4问，假设我们进入童话王国，动物很有智慧，兔子蹲着吃草不动，猎狗逡巡.猎狗计算发现，它的逡巡范围必须落在一个区域内，才能在兔子跑进巢穴之前截住它.请问，这个区域的边界曲线是什么？第5问，兔子发现隐匿不动的猎狗，兔子计算发现，它必须在一个安全范围内吃草，才能有惊无险跑回巢穴.请问，这个安全区域的边界曲线是什么？第6问，兔子有很多巢穴，发现猎狗后马上逃跑.兔子计算后发现，这么多巢穴中，只有落在一个

保险区域内的，才能安全返回.请问，这个保险区域的边界曲线是什么？这几个问题的答案可以在参考文献[2]中找到.

我们为什么给出问答式的题目而不是计算题的题目，是基于以下原因，一是计算题都是设定好的，所有的物理/数学量都给你，不多不少，学生只要按程序套公式就行了.在这种类型题目训练中，学生丧失了最基本的问问题的欲望和动力，是很被动的机械式的解题.二是本来知识的创生过程就来源于问问题，学知识也可以用这个思路.三是，学问学问，不能只有学没有问.对于学习物理来说，你有好奇心，主动去找问题，在求解问题的过程中，强大的征服欲望驱使你学习一切用来求解问题的知识、方法和手段.这个过程虽然痛苦，折磨，但是不会让人麻木、僵硬、死板.所以，本文题目中的“大秘密”，就是会问问题，能问问题，问出你和老师也不会解答的问题.这个思路也有实际效果，在“应付”高考中，你不仅会解题，也能出题，用同高考出题专家一样的思路出题，比他们还高明地出题.最后，问读者一个问题，本文中两类追及问题，我们问出14个问题来，你能问出多少个来？

1杜振强，邱为钢.追击问题的极限性质.大学物理，2010，29(8):57～58

2邱为钢，蒋明明，杨虹.追击问题临界范围的确定.力学与实践，2007(5):73～74

2015-11-09)