非齐次马氏链二元泛函的强大数定律中的收敛速度

李　芳

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)



非齐次马氏链二元泛函的强大数定律中的收敛速度

李芳

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

研究可列非齐次马氏链二元泛函强大数定律中的收敛速度，并利用得到的结果研究可列非齐次马氏链Shannon-McMilllan定理中的收敛速度问题.

可列非齐次马氏链;周期强遍历;Shannon-McMillan定理

设{Xn,n≥0}是在S={1,2,3,…}中取值的非齐次马氏链,其初始分布与转移矩阵分别为

q=(q(1),q(2),…)

(1)

Pn=(Pn(i,j)),i,j∈S,n≥1

(2)

其中Pn(i,j)=P(Xn=j|Xn-1=i).

关于可列非齐次马氏链一元泛函及二元泛函的强大数定律已有不少研究(参见文献[1-5]),本文主要研究可列非齐次马氏链二元泛函强大数定律中的速度问题,并应用到可列非齐次马氏链的一个Shannon-McMillan定理中去.

定理1设{Xn,n≥0}是具有初始分布(1),转移矩阵(2)的非齐次马氏链,{fn(i,j),n≥1}是定义在S×S上的一列二元函数,记

(3)

(4)

(5)

(6)

证明由文献[5]定理1,取an=n1/2+ε,类似[5]中(13)则由①知对任意ε>0和任何k≥1,有

即

所以对N≥1有

(7)

由文献[5]的(16)可知

(8)

由(4)式,可选充分大的N使(8)式右端第一项充分小,再令n→,由(5)知(8)式右端第二项趋于0,于是有

(9)

又有

由(7)和(9)知(6)成立.证毕.

(10)

其他条件不变,则(6)式仍成立.

证明由文献[6]定理2.1(b)知若(10)成立,则对任意ε>0,有

则类似(8)可知对N≥1有

(11)

又

由(7)和(11)知(6)成立.

下面可将上述两定理运用到信息论中:

已知马氏链{Xn,n≥0}的联合分布为

因此马氏链的熵密度为

其中log为自然对数.

fn(ω)在某种意义下收敛于常数(L1收敛,P收敛,a.s.收敛)称为Shannon-McMillan定理或熵定理,是信息论中的重要定理.本文利用定理1和定理2可以方便的得到一个非齐次马氏链熵定理中fn(ω)的收敛速度.

推论1设{Xn,n≥0}是一个非齐次马氏链,如定理1中所定义,记

如果对任意的ε>0和任何k≥1，存在α>0,使得

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

证明在定理1中取fn(i,j)=-logpn(i,j),则可得(15)和(16)成立.

类似地由定理2可得如下推论

其他条件不变,则(15)和(16)仍成立.

[1]朱成熹.非齐次马尔可夫链函数的强大数定律[J].数学学报,1988，31(4)：465-474.

[2]石志岩，韩大钊，杨卫国.双根树上二阶非齐次马氏链的强大数定律和Shannon-McMillan定理[J].应用概率统计，2015，31(2)：125-134.

[3]LIU Guo-xin,LIU Wen.On the strong law of large numbers for functionals of countable nonhomogeneous Markov chains[J].Stochastic Processes Appl.,1994(50)：375-391.

[4]李芳，杨卫国.一类非齐次马氏链的绝对平均遍历性[J].数学的实践与认识，2007(37)：10.

[5]杨卫国，韩金舫.关于非齐次马氏链的Cesaro平均收敛性[J].工程数学学报，1997(14)：57-62.

[6]BOWERMAN B,DAVID H T,ISAACSON D.The convergence of Cesaro averages for certain nonstationary Markov chains[J].Stochastic Processes Appl.,1977(5)：221-230.

[责任编辑王新奇]

The Rate of Convergence in Strong Law of Large Numbers forFunctions of Two Variables of Nonhomogeneous Markov Chains

LI Fang

(School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, WuHu 241000, China)

Inthispaper,therateofconvergenceinstronglawoflargenumbersforfunctionsoftwovariablesofcountablenonhomogeneousMarkovchainswasstudied,andherebytheproblemoftherateofconvergenceintheShannon-McMillantheoremfornonhomogeneousMarkovchainswasstudied.

countablenonhomogeneousMarkovchains；periodicstronglyergodic；Shannon-McMillantheorem

1008-5564(2016)02-0004-03

2015-09-22

安徽省自然科学基金资助项目(1308085QA14)

李芳(1981—)，女，安徽广德人，安徽师范大学数学计算机科学学院讲师，主要从事马氏链理论研究.

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