关于居加猜想证明的一点注记

王能群

(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)



关于居加猜想证明的一点注记

王能群

(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)

利用数论中的一些简单结果，建立了居加猜想的一个等价命题，同时否定了文献[1]的证明.

居加猜想；费马小定理；素数；等价命题

1　引言及主要结论

1950年，居加(G.Giuga)提出如下猜想：p为素数的充要条件是

(1)

根据费马小定理，当p为素数时，(1)式显然成立，而当(1)成立则p为素数的猜想至今没有证明.因此居加猜想的关键是证明：p为合数时

(2)

有人作过计算，当p≤101 400的整数时，猜想是对的.文献[1]声称证明了居加猜想，但是关键的最后一步出现了致命的错误.

本文利用数论中的一些简单结果，得出了居加猜想(1)的一个等价命题，即如下

2　若干引理

引理1若p为素数，p⫮a，则ap-1≡1(modp).

证明参见文献[2].

引理2对任意正整数a,b及正奇数t，有(a+b)∣(at+bt).

证明因为at+bt=(a+b)(at-1-at-2b+…-abt-2+bt-1)，所以(a+b)∣(at+bt).

当m≢0(modq-1)，即q-1⫮m时，gm≡1(modq)，故gm≠1，此时由引理1可得

3　定理1的证明

(Ⅰ)若p为素数，则由引理1知(1)成立.

(Ⅱ)若p为合数，

①设p为偶数，因为

=[1p-1+(p-1)p-1]+[2p-1+(p-2)p-1]+…

②设p为奇数，且p=ql，其中q是p的一个奇素因数，l是奇数，则

由于(k,q)=1，根据引理1得kq-1≡1(modq)，故

于是

(3)

令l-1=m+s(q-1)，其中0≤m

当m>1时，由于m

定理1得证.

推论1的证明：

4　对文献[1]证明的注记

文献[1]证明的第6)步，也是关键的一步，作者认为c=(p-1)pQ(p-1)，即c可被p整除.事实上，令n=11×7×3，则由(3)知

这说明11⫮c.因此，文献[1]的证明是错误的.

[1]陈德建.居加猜测的证明[J].新乡学院学报(自然科学版)，2012,29(5)：389-391.

[2]管训贵.初等数论[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2011:82-86.

[责任编辑王新奇]

A Note On the Demonstration of Giuga Conjecture

WANG Neng-qun

(School of Mathematics and Physics, Taizhou University, Taizhou 225300, China)

In this paper, by using of some simple results in the number theory, a equivalent proposition of Giuga conjecture was set up, and the demonstration in reference [1] was denied at the same time.

Giuga conjecture; Fermat theorem; prime number; equivalent proposition

1008-5564(2016)02-0001-03

2015-10-16

江苏省教育科学“十二五”规划课题资助项目(D201301083);泰州学院校级重点课题资助项目(TZXY2014ZDKT007)

王能群(1974—)，男，江苏泰兴人，泰州学院数理学院讲师，主要从事基础数论与数学教学课程论研究.

O156

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