古琴共鸣体的声固耦合模态分析

于　洋， 许震宇

(同济大学 航空航天与力学学院，上海　200092)



古琴共鸣体的声固耦合模态分析

于洋， 许震宇

(同济大学 航空航天与力学学院，上海200092)

模态分析中考虑古琴共鸣体与声腔内空气的声固耦合，得出不同固有频率下古琴的各阶位移场模态及声场模态。对比结构系统、声腔系统与耦合系统的仿真结果，研究空腔内空气对共鸣体壁板振动以及共鸣体壁板振动对腔内声压分布情况的影响。结果显示对古琴音量贡献较大的振动模态为呼吸模态，并且面板与底板以不同相位振动时表现的呼吸模态形式所辐射出的音量有所不同；理论推导建立了激励力频率与古琴发声响度之间的关系，为斫琴师根据激励力频率来调整古琴响度提供参考。

古琴；模态分析；有限元；声固耦合

古琴是中国的传统乐器，有着悠久的历史，经历了千百年的演化与积淀，古琴的构型基本确定下来，比较通俗的有仲尼式、伏羲式等形式，其构造材料均为老旧的桐木、杉木与梓木，因为这样的木材本身具有良好的声振特性，制作成琴腔共鸣体结构可以演奏出优美的乐曲。为了探究古琴响度与音调等声学特性需对古琴共鸣体基本振动特性进行分析，如陈璇[1]结合有限元理论对古琴共鸣体进行模态分析，得出了古琴共鸣体的固有频率和各阶振型，并分析了古琴面板厚度与弧度等尺寸的改变对古琴固有频率的影响，但其只是针对古琴传统的振动特性进行分析，并未深入探索古琴的声学特性，即未考虑古琴振动过程的声固耦合现象，未将声固耦合因素引入模态分析中。古琴共鸣体结构由面板和底板构成，在琴弦的激励下共鸣体结构振动并发声，此过程属于声固耦合现象，即振动过程中结构与声压两者相互作用产生耦合。

声固耦合现象的提出最早可追溯到GLADWELL等[2]应用余能法将以位移为基本参数的振动方程与以声压为基本参数的声波方程结合在一起，推导出空气与膜，空气与薄板的声固耦合方程。随着声固耦合理论的完善，很多学者将声固耦合现象与自身的工程实践结合起来，声固耦合模态分析就是其中的一个应用。如PETYT等[3]应用有限元数值方法分析了不规则形状空腔的声学模态，得出的实验模态效果与理论推导较为吻合。CRAGGS等[4]采用四面体和立方体网格针对平行六面体结构进行分析，得出了平行六面体声腔结构的声场频率和振型，并将这种方法应用在车体声腔中，计算结果与实验结果接近。国内也有学者针对声腔结构进行声固耦合模态分析，大多针对汽车空腔结构[5-6]。如马天飞等[7]为了研究汽车NVH特性建立了某轿车车身结构和车室空腔模型，考虑车室与内部空气之间的相互作用对结构系统、声腔系统、声固耦合系统三个有限元模型分别进行计算，结果表明耦合系统的模态不是两个系统模态的简单叠加，两者之间的相互作用将改变原系统的频率和振型。也有研究将声固耦合模态分析应用到乐器，如EZCURRA等[8]建立了吉他的声固耦合有限元模型，分析了吉他的上音板与背板通过中间空气的耦合现象，分析了吉他振动过程中各部件对共鸣腔整体振动效果的贡献度，但其分析内容没有深入到乐器声学的领域，并未进一步得出吉他声振特性对乐器响度、音调等有何影响。

鉴于以上分析，本文通过CAD软件建立古琴共鸣体三维模型，导入多物理场有限元软件形成有限元模型，对古琴进行结构模态分析、内部空腔声场模态分析以及声固耦合模态分析，对比三个结果研究结构振动与声压两者的相互作用对古琴模态的影响，得出对古琴共鸣体辐射音量贡献较大的模态振型，建立外部激励与古琴共鸣体内声压的关系，将振动特性与乐器响度联系在一起。

1　古琴共鸣体声固耦合有限元模型的建立

古琴琴体长约1.2 m，主要分为面板、底板两部分，底板有两个镂空的矩形孔口称为龙池、凤沼，面板与底板连结在一起形成共鸣体，共鸣体结构可视为弹性体，材料为正交各向异性的杉木，材料参数见表1。当共鸣体振动时会对腔内的空气施加力的作用从而改变声腔内的声压分布，声压变化又会激励壁板使之产生振动，形成空气与结构相互作用的声固耦合系统。

表1　古琴共鸣体的材料参数

在不影响古琴共鸣体声腔形状的基础上对古琴的外形进行简化，忽略琴弦的影响，用CATIA软件建立古琴的三维模型，将其导入多物理场耦合有限元软件COMSOL，在COMSOL内划分网格形成有限元模型，建模过程需分固体域单元(古琴共鸣体结构)和流体域单元(声腔内空气)，如图1为左侧为固体域有限元建模过程，右侧为流体域(声腔内空气)的模型与网格剖分结果。两者接触的边界面上空气域网格节点与结构网格节点完全重合，固体域单元最小尺寸为5 mm，空气域单元的尺寸要求每个波长至少5个单元[9]，最大尺寸为30 mm，最小尺寸为5 mm，均满足收敛要求。模型共包括43 077个域单元，10 920个边界单元。

图1　古琴共鸣体有限元建模过程Fig.1 The finite element modeling process of Guqin resonator

2　声固耦合模态分析有限元计算结果

耦合系统是由共鸣体与声腔中的空气相互作用形成的，它的振型包括两部分，一部分为结构变形，另一部分为声腔内的声压变化。为了便于比较，将不考虑声压变化影响、只考虑单纯结构振动的模态分析称为结构系统模态分析；把不考虑共鸣体结构壁板振动而引起腔内声压变化(Fa=0)的模态分析称为声腔系统模态分析；把考虑两者之间相互耦合的模态分析称之为耦合系统模态分析。

共鸣体声腔内的声压与结构边界运动的本构关系可以通过微分方程来刻画。当共鸣体及其内部的声腔系统受到简谐激励时，共鸣体壁板上的节点位移以及声腔内声压分布分别满足：

([Ks]+jω[Ds]-ω2[Ms]){u}={Fs}+{Fa}

(1)

和

([Ka]+jω[Da]-ω2[Ma]){p}=-ω2[S]{u}

(2)

由于耦合系统受简谐激励，合成方程组可表示为：

(3)

声固耦合模态分析属于矩阵特征值问题，不考虑外力的作用，所以Fs为0。另外，共鸣体的底端开有两个矩形孔口，与外界连通，不涉及耦合，所以其边界条件为无反射边界条件，即声波可透过孔口向外界传播。应用有限元软件定义结构与空气域的材料属性及约束条件，可以得到耦合系统的结构振型模态和声场模态。

2.1位移场模态

表2列出了古琴结构系统与耦合系统的固有频率，首先可观察到结构系统在136.37 Hz(耦合系统的第一阶固有频率)处原本没有模态，但在耦合系统中却出现了这种振动模态，可以看出耦合系统的固有频率比共鸣体结构系统分布更加密集，出现了共鸣体结构系统没有的频率。可以说明结构振动与声压变化这二者之间的相互作用产生了新的振动模式。

表2　结构系统与耦合系统的模态信息

从表2看出耦合系统第2、4、6阶模态的固有频率与结构系统模态中前4阶的固有频率十分接近，振型基本一致。2阶耦合模态与1阶结构模态均为一阶纵向弯曲模态；4阶耦合模态与2阶结构模态均为一阶扭转模态；6阶耦合模态与3阶结构模态均为关于纵轴反对称的弯扭混合模态。因此可以看出这些频率下声腔内声压的变化并未对共鸣体结构的振型产生较大的影响，即耦合系统发声以结构振动为主。

观察各种模态振型的比例可以看出无论结构系统还是耦合系统，其振型均含有大量的呼吸模态，呼吸模态是指共鸣体局部的某一区域内面板与底板同向或反向振动从而使这一区域出现体积明显膨胀的模态形式，如耦合模态中的1阶振型即为琴头与凤沼处(古琴底部最边缘的矩形孔洞)的两个呼吸模态。琴头处底板向下同时面板向上移动，即两者相位相差180°，琴头处体积呈现周期性增大与收缩，在单位时间内引起体积的迅速增大与缩小，从而引起腔体声压急剧变化，乐器的音量与声压变化的速度幅值有关，因而这种振动模式可以辐射出较大的音量。当面板与底板的振动相位差小于180°，如图3所示凤沼处的呼吸模态，此种振动模式向空气中辐射的音量就明显少于相位差为180°的呼吸模态[11]。由呼吸模态的振动形式产生的声压变化从而辐射出的声波占古琴共鸣体发声量的很大比例，所以对古琴振动发声响度的主要贡献为呼吸模态这种振动形式。

图2　从底部观察时耦合系统的第1阶结构振型Fig.2 The first structure mode of coupled system observed from the bottom

2.2声场模态

略去0阶声场模态，因为0阶声场模态为一致声压模态，在腔体内声压处处相等，类似于结构系统的刚体模态。图3列出了两阶耦合系统的模态振型，194.78 Hz处的结构振型为一阶纵向弯曲，即共鸣体只发生纵向位移变化，对应内部声压呈现纵向均匀变化，两条声压节线(声压为0的界线，与声压变化方向垂直)横向分布。而289.97 Hz处的结构振动为一阶扭转，即共鸣体产生横向位移运动，对应声腔内出现明显的横向变化，声压节线沿纵向。结合上文提到耦合系统固有频率与结构系统对应的固有频率十分接近，相差不超过2 Hz，并且振型基本一致，即共鸣体发声以结构振动为主，结构振动对声腔内声压变化的影响远大于内部声压变化对结构振动的改变。各阶声压振型相当于对应阶次结构振动的声学响应，即不同振动模式产生相应声场分布，从而影响共鸣体发声。因此斫琴师调整古琴共鸣体的结构构型可直接影响琴体发声的原理就在于此。

图3　耦合系统的声场模态与位移场模态Fig.3 The structural modes and acoustic modes of coupled system

3　耦合模态对古琴响度影响分析

古琴在不同激励下(琴弦施加力)会发出不同的音量，即响度。乐器的响度与声压和声波的频率有关， 古琴的响度一般在90 dB以上，查阅纯音标准等响曲线图发现90 dB以上的响度并且声波频率在200～1 500 Hz区间，频率的变化对响度的影响并不明显，所以可以认为在这一频率区间古琴响度仅随共鸣腔内的声压的增大而增大[12]。对于共鸣体所施加激励的大小、方式不同会使激发出的模态振型存在差异，从而影响腔内声压，因此有必要研究耦合系统的模态对古琴响度的影响。

首先推导出古琴在结构激励下的声压表达形式，将式(3)中位移向量与声压向量做变换，将物理坐标转换为模态坐标[13-14]：

{u}=[Φ]{η}，{p}=[Ψ]{ξ}

(4)

这里[Φ]表示解耦的、无阻尼结构模态，[Ψ]表示解耦的、无阻尼、声场硬边界下的声场模态，列向量{η}、{ξ}代表各阶模态在特定响应下的比例系数。假定结构系统与声腔系统均为比例阻尼，将式(4)代入式(1)，(2)中，并且上下两行分别左乘[Φ]T,[Ψ]T，则式(1)，(2)变为

([⋱ωa2⋱]+j[⋱ζaωa2⋱]-

ω2[I]){ξ}+ω2[c]{η}={0}

(5)

和

([⋱ωs2⋱]+j[⋱ζsωs2⋱]-ω2[I]){η}+

(6)

这里[I]为单位矩阵，矩阵[c]为结构系统模态与声场模态之间的耦合，每个元素为

cij=ρa{Фi}T∫s[Na]T[Ns]′ds{Ψj}

(7)

特定耦合系统模态中声压的变化对共鸣体结构的振型的影响非常小，声压对共鸣体结构壁板的作用远小于壁板振动对声压变化的影响，因此可将式(1)中声压载荷{Fa}忽略，所以式(6)中无{Fa}项。这样{η}可由式(5)直接表示出，并将其代入式(6)，则可推导出声压{p}的表达式:

{p}=

其中

在阻尼很小的情况下，忽略ζsj与ζai，共鸣腔内声压变为

其中ω为外力的激振频率(古琴琴弦)，ωsj与ωai分别为共鸣体结构系统的固有频率与内部声腔系统的固有频率，如表3列出了共鸣体结构与声腔的固有频率，可以看出两个系统的固有频率均处于200～1 500 Hz之间，满足声压与响度的正比关系。当ω≈ωsj时琴弦的激励频率与j阶结构系统固有频率接近时，右边出现极大值产生较大声压，并且这时古琴声腔辐射出的声音大多来自j阶结构共振，同理当ω≈ωai时琴弦的激励频率与i阶声腔系统固有频率接近，右边出现极大值产生较大声压，这时古琴声腔辐射出的声音大多来自声腔内声压共振。也就是说当古琴受到特定的外部激励(来自琴弦)恰好使某系统处于共振状态，则会发出较高的响度。如果激励频率不在两个系统的固有频率附近，响度要比以上两种情况低。

表3　结构系统与声腔系统的模态信息

在古琴制作完成后斫琴师需对古琴的响度进行校对，按压琴弦位置不同，拔弦时振动琴弦的长度就会不同，同时拔弦的力度不同也对激励频率造成影响。因此，斫琴师可根据共鸣体结构系统与声腔系统的固有频率适当调整按弦的位置以及拔线的力度，从而使琴弦能够产生特定的激励频率，利用共振效果来控制古琴的响度。

4　结　论

本文对共鸣体结构系统、声腔系统、声固耦合系统分别进行模态分析，发现声腔内空气的作用使耦合系统产生了新的模态，说明分析古琴共鸣体模态时引入声固耦合十分必要。

根据耦合系统的固有特性对古琴响度的影响得出以下结论：

(1) 古琴的振动模态中呼吸模态占有很大比例，呼吸模态为古琴振动的主要振动模式。并且当古琴面板与底板的相位相差180°时，呼吸模态所辐射出的响度最大。

(2) 当外部激励力的频率与结构系统或声腔系统频率接近时会增大声腔内声压，从而提高古琴响度。斫琴师可依据系统的频率分布，调整按弦的位置以及拔线的力度从而通过调整激励力频率来控制古琴响度。

综上所述，根据对古琴声固耦合系统的模态分析，得出了古琴共鸣体基本声振特性，又进一步通过理论分析建立了古琴模态形式与响度的关系，为深入研究古琴响度的可控性提供科学的理论依据。

[1] 陈璇.古琴共鸣体声学振动特性的研究和分析[D].长春：长春理工大学，2010.

[2] GLADWELL G M L, ZIMMERMANN G. On energy and complementary energy formulations of acoustic and structural vibration problems [J].Journal of Sound and Vibration,1966，3(3)：233-241.

[3] PETYT M, LEA J, KOOPMANN G H. A Finite element method for determining the acoustic models of irregular shaped cavities [J].Journal of Sound and Vibration, 1976, 45(4):495-502.

[4] CRAGGS A. The use of simple three-dimensional acoustic finite element for determining the natural models and frequencies of complex shaped enclosures [J].Journal of Sound and Vibration, 1972, 23(3):331-339.

[5] 袁培佩.乘用车声固耦合有限元模态分析[D].西安：长安大学，2014.

[6] 高剑.声场与结构耦合系统的模态分析与灵敏度计算[D].大连：大连理工大学，2002.

[7] 马天飞，林逸，张建伟.轿车车室的声固耦合系统的模态分析[J].机械工程学报,2005，41(7)：225-230.

MA Tianfei，LIN Yi，ZHANG Jianwei. Modal analysis for fluid-structure interaction system of car cavity [J].Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2005,41(7):225-230.

[8] EZCURRA A, ELEJABARRIETA M J, SANTAMARIA C. Fluid-structure coupling in the guitar box: numerical and experimental comparative study [J].Applied Acoustics,2005,66:411-425.

[9] ELEJABARRIETA M J, EZCURRA A, SANTAMARIA C.Vibrational behavior of the guitar soundboard analysed by the Finite Element Method[J].Acta Acustica,2001,87:128-136.

[10] EVERSTINE G C. A symmetric potential formulation for fluid-structure interaction [J]. Journal of Sound and Vibration,1981, 79(1):157-160.

[11] ELEJABARRIETA M J, EZCURRA A, SANTAMARIA C. Coupled modes of the resonance box of the guitar [J]. Acoustical Society of America,2002, 111(5):2283-2292.

[12] 何琳，朱海潮，邱小军，等.声学理论与工程应用[M]. 北京：科学出版社，2006.

[13] KIM S H, LEE J M. A practical method for noise reduction in a vehicle passenger compartment [J]. Journal of Vibration and Acoustics,1998, 120:199-205.

[14] SUNG S H, NEFSKE D J. A coupled structural-acoustic finite element model for vehicle interior noise analysis [J]. Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design,1984, 106:314-318.

Acoustic-structure coupling modal analysis of a Guqin resonator

YU Yang, XU Zhenyu

(The School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

By considering the acoustic-structure coupling between a Guqin resonator and the air in the cavity in the modal analysis, the corresponding displacement field modes and acoustic field modes at different frequencies were obtained. The influences of the air inside the cavity on the vibration of the resonator as well as the influence of the vibration of the resonator on sound pressure in the cavity were investigated by comparing the simulation results of the coupled system with the structural system and the acoustic system. Results reveal that breathing modes have larger contribution to the Guqin’s volume, and the radiating volume from the breathing modes has different forms when the faceplate and baseplate vibrate in different phases. The relationship between the frequencies of exciting forces and the volume of Guqin was built through theoretical deduction. This provides a reference for adjusting Guqin’s volume by changing the frequencies of exciting forces.

Guqin; modal analysis; finite element method; acoustic-structure coupling

2015-06-29修改稿收到日期：2015-09-10

于洋 男，硕士生，1991年1月生

许震宇 男，博士，副教授，1970年8月生

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10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.036