基于遗传算法的复杂双层磁悬浮精密隔振系统LQR控制研究

宋春生， 于传超， 张锦光， 陈金亮

(武汉理工大学 机电工程学院,武汉　430070)



基于遗传算法的复杂双层磁悬浮精密隔振系统LQR控制研究

宋春生， 于传超， 张锦光， 陈金亮

(武汉理工大学 机电工程学院,武汉430070)

主被动结合混合隔振技术能充分利用主被动隔振的各自优势，是精密隔振的研究热点。磁悬浮隔振技术具有无接触、无摩擦、寿命长、支承参数可控可调等特点，在主动精密隔振领域内得到广泛研究。设计磁悬浮主动隔振器并将其应用到被动精密隔振系统组成复杂双层磁悬浮精密隔振系统，建立了其动力学方程，推导出了相应系统的状态方程，提出了一种基于最小加速度响应的LQR主动隔振控制策略，并采用遗传算法进行优化，得到Q与R矩阵的值，并进行仿真研究。仿真结果表明：在不同的激励下，复杂双层磁悬浮精密隔振系统较被动隔振系统，隔振效果都有显著提高。

磁悬浮隔振器；复杂双层；精密隔振系统；遗传算法

随着精密制造和精密测量仪器的发展，设备仪器朝着高速高精的方向发展。以光学设备、精密加工平台等为代表的超精密加工和测量设备得到了越来越广泛的应用。外部环境的振动势必影响到精密加工和精密仪器的精度和稳定性，因此采用有效的隔振技术隔离来自基础的振动和设备自身的扰动是非常有必要的。

隔振技术一般分为主动隔振和被动隔振，被动隔振结构简单、工作可靠，但对低频和谐振频率附近的干扰隔振性能差[1-2]。主动隔振能很好的弥补被动隔振低频隔振效果差的缺点。磁悬浮隔振技术是一种典型的主动隔振技术[3-4,7-8]，具有无接触、无摩擦、寿命长、支承参数可控可调等特点，在主动精密隔振领域内得到广泛研究[4,8-9]。

由于精密设备应用场合(如飞机、航天器等)的空间和承载重量所限且有基础扰动的场合，有些精密光学设备安装在同一个隔振系统中进行隔振，系统较为复杂。因此，本文设计磁悬浮主动隔振器，并将其应用于复杂双层精密隔振系统中，建立该系统的动力和状态方程。根据隔振系统的需求，以隔振对象的加速度为控制目标，建立了隔振系统的LQR控制模型，Q与R矩阵的确定是LQR控制的关键，然而目前Q与R矩阵的取值一般通过经验式凑的方法确定，如果Q和R矩阵的选取的不恰当，求得的就不是最优解，即使有经验的设计者，能够通过多次式凑得到一组有较好输出的值，但是效率很低且不能保证系统达到最优[6-7]。遗传算法是模仿生物进化机制发展起来的全局搜索优化方法，首先把问题参数进行编码，然后进行选择、交叉及变异等操作，经过不断迭代计算，使得算法种群朝着最优的方向进化，进而得到最优个体。因此本文将遗传算法引入到LQR控制模型的Q与R矩阵参数的优化选取中，利用遗传算法的全局搜索优化，求得最佳的Q和R矩阵，最后进行仿真计算，以隔振对象的加速度响应作为评价标准，结果表明：磁悬浮复杂双层隔振系统的隔振对象加速度响应远远小于被动隔振系统。

1　复杂双层磁悬浮精密隔振系统

1.1系统模型

双层隔振是利用两层弹性元件的阻尼和中间质量的设计来控制并吸收、衰减弹性波，获得良好的隔振效果。在隔振频率区，相比于单层隔振振动传递率以1/w2衰减，每倍频仅衰减12 dB，双层隔振系统的振动以1/w4衰减，即每倍频24 dB，隔振效果显著提升。

图1为本文设计的复杂双层磁悬浮隔振系统，有上下两层弹簧，上层有两个隔振对象，分别为m1和m2，

k1、c1为支承m1的弹簧刚度和阻尼，k2、c2为支承m2的弹簧刚度和阻尼，m3为中间体，简化为杆，JX为中间质量m3的绕X轴转动惯量，k3为下层弹簧的刚度，F1，F2为磁悬浮隔振器的主动控制电磁力，z1为m1的位移响应，z2为m2的位移响应，z3为m3的位移响应，l1,l2,l3为相应隔振器的位置，z0为基础Z向干扰位移响应，θ0为基础干扰绕X轴转动角度响应，XZ为对应的笛卡尔坐标系。该磁悬浮精密隔振系统为两自由度隔振系统，Z方向的平动，绕X方向的转动。

图1　复杂双层磁悬浮精密隔振试验台原理图Fig.1 Analytical model of complex two-stage magnetic suspension active precise isolation system

1.2系统动力学方程和状态方程

考虑磁悬浮复杂双层精密隔振系统在实际工作中，绕X轴的转动角度很小(≤2°)，故可以近似认为cosθx≅1,sinθx≅θx，分别建立隔振对象m1与m2的动力学方程，该动力学方程为：

(1)

根据磁悬浮复杂双层精密隔振系统动力学方程，建立其状态方程。

(1) 设状态变量为：

X=[v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8]T=

其中：

c1v5+c1(v7-l1v8)+u1]

c2v6+c2(v7+l2v8)+u2]

k2(v3+l2v4)-2k3(v3-z0)+

c1v5-c1(v7-l1v8)+c2v6-c2(v7+l2v8)-u1-u2]

l2k2(v2-v3-l2v4)-u2l2-

k3l3(v4l1-θ0l3)-k3l3(v4l2-θ0l3)-

l1c1(v5-v7-l1v8)+l2c2(v6-v7-l2v8)]

(2) 控制量为磁悬浮隔振器控制电磁力：

U=[u1,u2]T=[F1,F2]T

(3) 输入量为基础干扰：

F=[z0,θ0]T

(4) 输出量为隔振对象的加速度：

(5) 系统的状态方程为：

(2)

其中：A、B、C、D、E的值如下：

根据系统的状态方程式(2)得到的A，B，C矩阵，求得该系统的可控可观矩阵的秩均为8，均为满秩矩阵，满足线性定常系统可控可观的充要条件，因此该磁悬浮复杂双层精密隔振系统可控可观。

2　磁悬浮主动隔振器

设计的磁悬浮主动隔振器由上下连接件1、中间轴2、外壳3、电磁铁4、线圈5和衔铁6组成，结构简图如图2所示。

应用磁路法得到磁悬浮隔振器的电磁力表达式，电磁铁是气隙与线圈电流的函数[1-3]，如式(3)所示。

(3)

式中：

其中,μ0为真空磁导率，N为线圈绕组匝数，A为磁极面积，x0为衔铁处于中间位置时的单边气隙，x为气隙的变化量，i1和i2分别为上下线圈中的电流，最大电磁力设计值为100 N。

图2　磁悬浮主动隔振器的结构简图Fig.2 Structure of magnetic suspension isolator

3　控制系统模型

精密隔振目的是在基础有干扰的作用下尽可能的减少传递到被隔振对象上的加速度响应值[10]，因此，采用本文采取传递到被隔振对象上的加速度的平方和作为系统的控制目标函数。

目标函数选取为：

(4)

式中：Xm1a,Xm2a为隔振对象m1和m2的加速度响应。

考虑到磁悬浮隔振器的输出控制力的能力，对式(4)给出的价值函数进行修正[5]，得到式(5)：

(5)

式中：q1,q2,r1,r2为加权系数,U为磁悬浮隔振器的输出控制力；

设：Q=diag{q1,q2},R=diag{r1,r2}，根据式(2)和式(4)可以得到：

(6)

因此，

根据极值原理，得到最优输出下的控制力：

U=-R-1(NT+BTP)X=-KX

(7)

式中：K为最优反馈增益矩阵，P为Riccati矩阵代数方程PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0的解，N为O。

由于LQR 控制的性能完全取决于Q与R矩阵的选取，目前一般采用式凑的方法得到Q和R矩阵，如果的选取的不恰当，求得的就不是最优解，即使能够通过多次式凑得到一组有较好输出的值，效率很低且不能保证系统达到最优。遗传算法是利用迭代的方式进行选择、交叉及变异等操作模仿生物进化机制发展起来的全局搜索优化方法。因此，本文在建立LQR控制模型的基础上，将遗传算法引入到LQR控制的Q与R矩阵参数的优化选取中，利用遗传算法的全局搜索能力获取最优的Q和R矩阵。

首先根据隔振性能指标建立遗传算法的适应度函数：

(8)

M1A,M2A代表隔振对象m1和m2的垂向加速度的均方根值。优化变量X为加权系数q1,q2,r1,r2

X=(x1,x2,x3,x4)=(q1,q2,r1,r2),

1

基于遗传算法的磁悬浮复杂双层隔振系统LQR控制器加权系数优化过程如图3所示。

图3　优化过程示意图Fig.3 The process of optimization

(1) 遗传算法种群采用实数进行编码，初始种群个体数目为100，给出最小适应度函数值；

(2) 种群个体依次赋值q1,q2,r1,r2，通过为推导过程计算得到最优反馈矩阵，然后通过Simulink仿真计算得到系统的性能指标；

(3) 判断程序是否满足最大迭代次数或最小适应度值的终止条件，若满足退出程序，并得到最优解；如果不满足两个终止条件之一，则跳至步骤(4)；

(4) 进行遗传算法的选择、交叉、变异等操作，产生新的种群，跳至步骤(2)继续迭代计算。

4　复杂双层精密隔振平台仿真分析

4.1仿真参数

利用Matlab2014a的Simulink控制系统工具箱对复杂双层磁悬浮精密隔振系统进行仿真分析。仿真系统参数如下：m1=25 kg,m2=42 kg,m3=60 kg,k1=60 000 N/m,k2=100 000 N/m,k2=400 000 N/m,c1=173.2 N·s/m,c2=289.8 N·s/m,JX=8.2 kg·m2,l1=0.4 m，l2=0.3 m,l3=0.5 m。

4.2遗传算法寻优

本文采用的LQR控制模型的Q和R矩阵值寻优遗传算法的个体编码方式采用实时编码，初始种群是随机产生。精英种群个数为10个，交叉后代比例为0.4，采用随机一致选择函数、分散交叉函数及约束自适应变异函数，最大迭代次数为30次。

LQR控制系统的输入为0～50 Hz扫频信号，寻优遗传算法经过30步迭代运算，得到最优适应度函数和最优个体的值如图4所示。最优适应度的值为：2.472×10-5，最优个体的值为q1=8 809 642.365,q2=624 345.943,r1=0.001 58,r2=0.002 34。

图4　遗传算法迭代过程与最优个体的值Fig.4 GA iterative process and optimal individual

4.3LQR控制仿真结果

鉴于精密设备运行过程中的实际地面干扰复杂且多变，为了判定前文建立的LQR控制器及遗传算法优化得到的Q和R矩阵的值是否有效，本小节模仿实际情况分析单频、扫频、随机信号、冲击等四种不同干扰信号下，利用前文得到的Q和R矩阵的值仿真得到磁悬浮复杂精密隔振系统控制前后的隔振对比效果。

(1) 单频干扰信号

首先，分析最简单情况下即基础干扰为简单正弦信号情况下(z0,θ0均为单频干扰信号，频率均7 Hz，7 Hz接近被动系统的共振频率)，对比分析复杂双层精密隔振平台控制前后隔振系统的隔振效果，据磁悬浮隔振器的性能及系统隔振效果分析，仿真时间为5 s。

图5为单频干扰信号下，复杂双层精密隔振平台m1输出加速度的时频域曲线对比图。纵轴为加速度响应大小，横轴为时间，可以看出隔振效果从被动系统的最大幅值0.086 45 m/s2降低为控制后的5.655×10-4m/s2，主动隔振系统最大加速响应仅约为被动系统1/153，隔振效果显著提升。

图5　单频干扰下，m1加速度响应时域曲线对比图Fig.5 Accelerations contrast curves of m1 in time-domain under single frequency disturbance

图6为单频干扰信号下，复杂双层精密隔振平台m2输出加速度的时频域曲线对比图，可以看出磁悬浮精密隔振系统隔振效果明显优于被动系统。从被动系统的最大幅值0.361 8 m/s2降低为控制后的1.017×10-2m/s2，幅值减小为原来的1/35，有很好的隔振效果。

图6　单频干扰下，m2加速度响应时域曲线对比图Fig.6 Accelerations contrast curves of m2 in time-domain under single frequency disturbance

(2) 扫频干扰信号

鉴于实际干扰的复杂性，为了进一步验证复杂双层磁悬浮精密隔振系统LQR控制模型及优化得到的控制参数的有效性，干扰信号采用正弦线性扫频信号(z0,θ0均为扫频信号，频率0～50 Hz)，仿真时间为5 s。

图7为扫频干扰信号下，复杂双层主被动精密隔振系统m1加速度的时频域曲线对比图，图7(a)为时域曲线，从该曲线可以看出复杂双层磁悬浮精密隔振系统加速度响应远远小于被动系统。图7(b)为对应的频域曲线，m1加速度响应从被动系统的最大值0.013 22 m/s2减小到控制后的5.782×10-5m/s2，幅值不足被动系统的1/200，说明LQR控制磁悬浮精密隔振系统及控制参数在此干扰信号作用下有很好的隔振效果。

图7　扫频干扰下，m1加速度响应时频域曲线对比图Fig.7 Accelerations contrast curves of m1 under swept-frequency disturbance

图8为扫频干扰信号(0～50 Hz)下，复杂双层主被动精密隔振系统m2加速度的时频域曲线对比图，图8(a)为时域曲线，可以看出复杂双层磁悬浮精密隔振系统隔振效果明显优于被动系统。图8(b)为对应的频域曲线，被隔振对象m2加速度响应的最大值从被动隔振系统0.015 92 m/s2减小到控制后磁悬浮隔振系统的0.001 024 m/s2，控制后幅值不到被动系统的1/15，隔振效果。

图8　扫频干扰下，m2加速度响应时频域曲线对比图Fig.8 Accelerations contrast curves of m2 under swept-frequency disturbance

(3) 随机干扰信号

实际干扰有时多为随机干扰信号，为了进一步验证复杂双层磁悬浮精密隔振系统LQR控制模型及优化得到的控制系统参数的有效性，干扰信号采用高斯随机信号，仿真时间为5 s。

图9为随机干扰信号下，复杂双层主被动精密隔振系统m1加速度的时频域曲线对比图，图9(a)为时域曲线，从该曲线可以看出复杂双层磁悬浮精密隔振系统加速度响应远远小于被动系统。图9(b)为对应的频域曲线，m1加速度响应从被动系统的最大值0.066 06 m/s2减小到控制后的4.27×10-4m/s2，幅值仅约为被动系统的1/150，说明LQR控制磁悬浮精密隔振系统及控制参数在此干扰信号作用下有很好的隔振效果。

图9　随机干扰下，m1加速度响应时频域曲线对比图Fig.9 Accelerations contrast curves of m1 under random disturbance

图10为随机干扰信号下，复杂双层主被动精密隔振系统m2加速度的时频域曲线对比图，图10(a)为时域曲线，可以看出复杂双层磁悬浮精密隔振系统隔振效果明显优于被动系统。图10(b)为对应的频域曲线，被隔振对象m2加速度响应的最大值从被动隔振系统0.084 91 m/s2减小到控制后磁悬浮隔振系统的0.007 765 m/s2，控制后幅值不到被动系统的1/10，隔振效果明显提高。

图10　随机干扰下，m2加速度响应时频域曲线对比图Fig.10 Accelerations contrast curves of m2under random disturbance

(4) 冲击干扰信号

在实际情况下，精密隔振系统也经常需要承受较大冲击载荷的作用，因此本文最后验证在冲击载荷的作用下设计的LQR控制器及遗传算法优化得到Q和R矩阵参数的隔振效果有效性。干扰信号采用脉冲信号(z0,θ0均为脉冲信号，作用时间为0.1 s)，仿真时间为5 s。

图11为脉冲冲击干扰信号下，复杂双层主被动精密隔振系统m1加速度的时频域曲线对比图，从该曲线可以看出：被隔振对象m1加速度响应的最大值从被动系统的0.176 1 m/s2，减小到控制后磁悬浮隔振系统的0.000 443 5 m/s2，最大幅值仅约为原来的1/400，有明显的隔振效果。且经历冲击信号1 s后，被动系统幅值衰减约为最大幅值的12.04%，而同样经过1s后，控制系统幅值衰减约为最大幅值的4.32%，仅约为被动系统的1/3，冲击信号干扰的衰减速度也大大增加。

图11　冲击干扰下，m1加速度响应时域曲线对比图Fig.11 Accelerations contrast curves of m1 in time-domain under impact disturbance

图12为脉冲冲击干扰信号下，复杂双层主被动精密隔振系统m1加速度的时频域曲线对比图，从该曲线可以：被隔振对象m1加速度响应的最大值从被动系统的0.188 3 m/s2，减小到控制后磁悬浮隔振系统的0.008 396 m/s2，最大幅值仅约为原来的1/22，有隔振效果大大提升。且被动系统冲击信号经过1 s后，幅值衰减约为最大幅值的12.45%，而控制冲击信号经过1 s后，幅值衰减约为最大幅值的0.84%，仅约为被动系统的1/14，冲击信号干扰的衰减速度大大增加。

在脉冲冲击干扰信号下，磁悬浮复杂双层精密隔振系统，在主动控制情况下，所需电磁力的大小如图13所示，1#磁悬浮隔振器所需电磁力F1的最大值为45.32 N，2#磁悬浮隔振器所需电磁力F2的最大值为81.84 N，均在磁悬浮隔振器设计范围之内。

图12　冲击干扰下，m2加速度响应时域曲线对比图Fig.12 Accelerations contrast curves of m2 in time-domain under impact disturbance

图13　冲击干扰下，磁悬浮隔振器所需电磁力对比图Fig.13 Electromagnetic forces under impact disturbance

5　结　论

本文设计了一种磁悬浮主动隔振器并将其应用到被动精密隔振系统组成复杂双层磁悬浮精密隔振系统，建立了其动力学方程，并推导出了相应系统的状态方程，在此基础上，提出了一种基于最小加速度响应的LQR主动隔振控制策略，并将遗传算法引入到LQR控制模型的Q与R矩阵参数的优化选取中，利用遗传算法的全局搜索优化，求得最佳的Q和R矩阵，最后进行仿真分析，仿真结果表明：在正弦、扫频、随机和冲击等四种干扰信号下， 磁悬浮精密隔振系统较被动隔振系统，隔振效果显著提高，证明本文针对磁悬浮复杂双层隔振系统建立的LQR控制模型及基于遗传算法优化的到的Q与R矩阵参数是非常有效的，为磁悬浮主被动隔振系统在精密隔振领域尤其是在机载和车载等精密隔振领域的应用奠定理论基础。

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LQR control of a complex two-stage magnetic suspension active precise isolation system based on the genetic algorithm

SONG Chunsheng, YU Chuanchao, ZHANG Jinguang,CHEN Jinliang

(School of Mechanical and Electronic Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China)

The active-passive hybrid vibration isolation technology is the hotspot of precise vibration isolation, which can overcome the defects of passive vibration isolation technology such as the poor vibration isolation performance in low and resonant frequencies. Compared with other active vibration isolation technologies, magnetic suspension isolation technology has shown useful characteristics, such as wide frequency response range, fast response, high reliability, and the electromagnetic force adjusted easily by changing controller’s parameters on-line. A magnetic suspension vibrator was proposed for an existing complex two-stage passive isolation system to form a precise active system. The characteristics and capacity of the isolator were studied theoretically. The dynamical equations and state equations of the active system were built. An LQR control model of the active vibration isolation based on the minimization of isolation table acceleration response was proposed. The genetic algorithm was used to optimize the Q and R matrices of the LQR model. The control model was simulated. The simulation results show that the active system has much better performance in vibration isolation.

magnetic suspension isolator; complex two-stage; precise active isolation system; genetic algorithm

国家自然科学基金资助项目(51205296; 51275368);武汉理工大学自主创新基金资助项目(2015-JD-B1-08)

2015-06-15修改稿收到日期：2015-09-05

宋春生 男，博士,副教授,硕士生导师，1981年11月生E-mail:song_chsh@163.com

TH133

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.017