L-fuzzy拓扑空间中α-开运算及α-紧性

李南南 ，王瑞英

（内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古 呼和浩特　010022）

L-fuzzy拓扑空间中α-开运算及α-紧性

李南南 ，王瑞英

（内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古 呼和浩特010022）

给出了L-fuzzy拓扑空间中L-fuzzyα-开运算的定义.然后借助L-fuzzy α-开运算给出L-fuzzy拓扑空间中L-fuzzy α-紧的定义；其次给出L-拓扑空间中开覆盖及fuzzy α-紧的定义；并分别得到了一些相关性质；最后讨论了L-fuzzy拓扑空间中L-fuzzy α-紧与L-拓扑空间中fuzzy α-紧之间的关系.

L-fuzzy拓扑空间；L-fuzzyα-开运算；fuzzyα-紧

1　引言

α-开集是一种推广型开集，文献［1］中给出它的定义，在文献［2］中给出了经典拓扑空间中紧性理论.在文献［3］中给出了I-拓扑中紧性理论，在文献［4］中给出了L-拓扑空间中紧性理论，在文献［5］中给出了L-拓扑空间中紧性理论的新形式，那么是否能够给出L-fuzzy拓扑空间中的α-紧性理论呢？在文献［6］中给出了L-fuzzy拓扑空间中开运算的定义，在文献［7］中给出了L-fuzzy拓扑空间中半-p-开运算和开运算及其相关性质，在文献［8］中给出了L-fuzzy拓扑空间中半-p-紧性的概念及其相关性质，在文献［9］中给出了L-fuzzy拓扑空间中半-p-开运算定义及半-p-紧性理论.本文在以上理论基础上，给出了L-fuzzy拓扑空间中α-开运算的定义及α-紧性理论.

下面给出本文常用的一些概念和结论.

本文中(L，≤，∨，∧，′)是满足补余律的F格[10]，X是非空集，L中的最大元和最小元记为⊤和⊥，LX是X上所有L-集.LX中的最大元和最小元记为⊤和⊥.L中元素a称为素元当且仅当若a≥b∨c有a≥b或a≥c.L中元素a，若a′是素元，则称a为余素元.L中全体非零余素元记为M(L).

定义L上的一个二元关系≺：a，b∈L，a≺b⇐⇒对于任意的非空集D⊆L，若supD≥b，则存在d∈D使得a≤d.在完全分配格L中，任意b∈L，b=∨{a∈L|a≺b}，集合{a∈L|a≺b}称为b的极大极小集[13-14]记为β(a).

定义 1.2[15-18]若映射T：LX-→L满足：

(1)T(⊤)=T(⊥)=⊤；

(2)∀U，V∈LX，T(U∧V)≥T(U)∧T(V)；

则称T是X上的L-fuzzy拓扑，(X，T)称作是X上的L-fuzzy拓扑空间，称T(U)是U一个开集的度.

对于任意的a∈L和映射T：LX-→L，采用文献［19］中的记号

定理 1.1[20]映射T：LX-→L，有以下等价命题：

(1)T是X上的L-fuzzy拓扑

(2)对于∀a∈M(L)，T[a]是X上的L-拓扑

定理1.2[5]设(X，τ)是L-拓扑空间，A∈LX，若A≤A◦-◦，则称A是τ中的α-开集.定义1.3[5]设(X，τ)是L-拓扑空间，G∈LX，如果对于LX的任意α-开子集U，有

则称G是fuzzy α-紧.这里2(U)是U的所有有限子集的集合

2　L-fuzzy拓扑空间中 α-开运算

定义2.1 设T是X上的L-fuzzy拓扑，定义映射Tα：LX-→L如下：

这时称Tα是由T诱导的L-fuzzy α-开运算，Tα(A)称A是一个α-开集的度.

证明若∀i∈I，a/≤bi，a≤⊤=bi∨b′i，

知a≤a′，a∧a≤a′∧a.由a′∧a=⊥得a≤⊥，矛盾！

引理2.2(X，T)是L-fuzzy拓扑空间，给定a∈M(L)和T[a]，则

证明(⇒)只需证∀yµ≺C，有yµ≤B-，，如若不然∃y′µ≺C，有y′µ/≤B-，则由B-≥B，得y′µ/≤B-≥B，而B-′∈T[a]，则T(B-′)≥a，(T(B-′)′≤a′，因此

得a≤a′，便有a=a∧a≤a′∧a=⊥，矛盾！(⇐)只需证

则 ∃D∗，y′µ/≤D∗≥B，(T(D∗′))′/≥a，且又有T(D∗′)/≥a，若不然T(D∗′)≥a，则D∗′∈T[a]，即 D∗是T[a]中的闭集，由D∗≥B得 D∗≥B-，又由y′µ≤B-得 y′µ≤D∗矛盾！所以T(D∗′)/≥a，又因为a∈M(L)，则a/≤T(D∗′)∨(T(D∗′))′=⊤，矛盾！

定理2.3 设(X，T)是L-fuzzy拓扑空间，A∈LX，a∈M(L)，则A∈(Tα)[a]当且仅当A 是T[a]中的α-开集，其中(Tα)[a]={A∈LX|Tα(A)≥a}.

证明A∈(Tα)[a]⇐⇒ Tα(A)≥a

3　L-fuzzy拓扑空间中 α-紧性

定义3.1设(X，T)是L-fuzzy拓扑空间，G∈LX，如果对于LX的任意子集P，有

则称G是L-fuzzy α-紧.这里2(P)是P的所有有限子集的集合

定义3.3 设(X，τ)是L-拓扑空间，a∈M(L)，G∈LX，G称是a-fuzzy α-紧当且仅当对于任意b∈β(a)，G的Qa-α-开覆盖U，都存在U的有限子集V，V是G的Qb-α-开覆盖.

定理3.1设(X，τ)是L-拓扑空间，G∈LX，则∀a∈M(L)，G是fuzzy α-紧当且仅当G 是a-fuzzy α-紧.

所以

于是

所以G是a-fuzzy α-紧.

(⇐)对于LX的任意α-开子集U，

由G是a-fuzzy α-紧，所以∀b∈β(a)，∃ψb是U的有限子集，ψb是G的Qb-α-开覆盖，且

所以

进而

因此

所以G是fuzzy α-紧.

定理 3.2设 (X，T)是 L-fuzzy拓扑空间，G∈LX，则 ∀a∈M(L)，G在 (X，T)中是L-fuzzy α-紧当且仅当G在(X，(T)[a])中是a-fuzzy α-紧.

因为G在(X，T)中是L-fuzzy α-紧，所以

(⇐)因为

所以

所以所以

所以G在(X，T)中是L-fuzzy α-紧.

定理3.3 设(X，τ)是L-拓扑空间，a∈M(L)，G、H∈LX若G是a-fuzzy α-紧且H 是α-闭集，则G∧H是a-fuzzy α-紧

证明设U是G∧H的Qa-α-开覆盖，∀b∈β(a)，∀x∈X，有

定理 3.4设(X，τ)是L-拓扑空间，a∈M(L)，G，H∈LX若G，H是a-fuzzy α-紧，则G∨H是a-fuzzy α-紧

证明 设U是G∨H的Qa-α-开覆盖，∀b∈β(a)，则∀x∈X，有所以

由G，H是a-fuzzy α-紧，则∃V1，V2是U的有限子集，V1，V2分别是G和H的Qb-α-开覆盖，所以

令V=V1∨V2，则V是U的有限子集且

因此

所以V是G∨H的Qb-α-开覆盖，即得G∨H是a-fuzzy α-紧

定理3.8 设(X，T)是L-fuzzy拓扑空间，G∈LX，若G是L-fuzzy α-紧且Tα(H′)=⊤，则G∧H是L-fuzzy α-紧

证明由Tα(H′)=⊤和

所以G∧H是L-fuzzy α-紧.

4　结束语

本文给出了L-fuzzy拓扑空间中α-开运算的定义，在此定义的基础上研究了L-fuzzy拓扑空间中L-fuzzy α-紧，同样，我们可以在此定义的基础上，在后面的工作中可以研究L-fuzzy拓扑空间中的连通性，分离性等拓扑性质，还可以研究L-fuzzy拓扑空间中连通度，紧度等问题。

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2010 MSC:54A40

Regular open set in L-fuzzy Topology

Li Nannan，Wang Ruiying
（College of Mathematical Science，Inner Mongolia Normal University，Huhhot 010022，China）

In this paper，we give the concept of L-fuzzy α-open operator in L-fuzzy topological spaces and use it to obtain L-fuzzy α-compactness in L-fuzzy topological spaces.Moreover we give the concept of open cover and a-fuzzy α-compact in L-topological spaces and its related properties.Finally，We also study the relationship between L-fuzzy α-compactness and fuzzy α-compactness in L-topological spaces.

L-fuzzy topological spaces，L-fuzzy α-open operator，a-fuzzy α-compact

O189

A

1008-5513(2016)04-0499-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.009

2013-07-18.

内蒙古师范大学研究生科研创新基金(CXJJS12030)；内蒙古自然科学基金(2012MS0121，2010MS0118)；内蒙古自治区高等学校科学技术研究项目(NJZY11033).

李南南(1986-)，硕士生，研究方向：模糊拓扑.