例谈解决多元函数问题的几种策略

☉江苏省常熟市浒浦高级中学 钱佶忠

例谈解决多元函数问题的几种策略

☉江苏省常熟市浒浦高级中学 钱佶忠

多元函数是近几年各地模拟考试的热点，近几年高考中多次出现此类题目，常常涉及函数、方程、不等式、三角、平面几何等诸多知识，这些问题字母多、式子繁、难度大、综合性强，很多学生感到无从下手，是教学的一个难点.解决此类问题的策略中蕴含了丰富的数学思想和方法，只要把握整体思维思想，利用消元降次、数形结合等解题方法，许多问题往往迎刃而解.笔者结合平时的教学实践，举例说明，以期抛砖引玉.

策略一——灵活使用判别式法

当题目中有多个变量时，变量的范围是一切实数，常常考虑将某一个变量视为主元，用判别式方法解决.

例1 已知实数a、b、c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值为_______.

解析：因为a+b+c=0，所以c=-（a+b），代入得a2+b2+［-（a+b）］2=1，即2a2+2ab+2b2-1=0，将等式视为关于b的二次方程有解，只需Δ≥0，即Δ=4a2-8（2a2-1）≥0，解到，则a的最大值为

点评：如果通过代换及题中关系式可得到一个关于某个变量的一元二次方程，利用二次方程有解时判别式非负可以将问题解决.有时需要根据变元的范围和位置来决定主变元的次序.

策略二——利用局部调整变量解决

局部调整是解多元函数最值的一种比较重要的方法.“局部调整”，其实质是根据问题的内在联系，进行有限次的调整，让其他的对象暂时不变，得出局部的结果之后，再进一步调整研究，从而减少变元，探索解答.

（1）求多元函数的最值时，在解题过程中，可以通过已知的条件，逐次消去一部分变元，从而减少变元，使之转化为我们熟悉的一元函数.

例2 已知正数a、b、c满足5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则的取值范围为_______.

解析：由于clnb≥a+clnc，进行对数运算，有clnbclnc≥a，即ln≥，所以对条件5c-3a≤b≤4c-a两边同除以c，即有，而设y=，x=，则5-3x≤y≤4-x，lny≥x⇒y≥ex，求的范围.通过整体转化，常规的线性规划问题出现，以下求法略.

点评：在进行消元和换元的同时注意变元的范围，不能随意扩大和缩小.

（2）求多元函数最值时，在解题过程中，可以通过局部调整多元函数的结构形式，使之与我们所学过的一些公式（如两点间距离公式、斜率公式、点到直线的距离公式、定比分点坐标公式等）结构类似，可以考虑用数形结合的方法.

证明：当a=0时，F（0，θ）=1.当a≠0时，F（a，θ）=

图1

（3）在求多元函数问题时，在解题过程中，某些变元地位独立，尽管变化不定，但不牵扯到其他的变元，可以调整它的范围，达到局部的最值.然后逐次调整其他的变元，直至求出答案.

例4 已知a，b，c是正实数，且abc+a+c=b，设p=，则p的最小值为________.

解析：设a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，α，β，γ∈ （0，），则，即，所以p=2cos2α-2cos2β+3cos2γ，α，β，γ∈ （0，）.又由和差化积公式，可得β=α+γ，γ=β-α，p=2sin（α+β）sin（β-α）+3cos2γ= 2sin（α+β）sinγ+3cos2γ.因为sin（α+β）≤1，所以p≤2sinγ+时取等号，即p=.

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策略三——利用等价转化解决多元函数问题

多元问题具有难度大、技巧性强，两个变量之间的相关性和任意性难以把握等特点，致使学生无从下手，找不到解题的切入点.经常可以通过等价转化策略实现问题的解决.将题目中的两个独立变量x1，x2，整体或局部转化为含有x+x或x-x或等形式，进行换元再构造一

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个新变量的函数.

例5 已知函数f（x）=ex-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；

（2）在函数f（x）的图像上取定点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=k恒成立.

解析：（1）a的取值集合为｛1｝（.过程略）

令t=x1-x2或t=x2-x1，于是F（t）=et-t-1，则F′（t）=et-1.

当t＜0时，F′（t）＜0，F（t）单调递减；当t＞0时，F′（t）＞0，F（t）单调递增.

故当t=0，F（t）＞F（0）=0，即et-t-1＞0.

从而ex2-x1-（x2-x1）-1＞0，ex1-x2

-（x1-x2）-1＞0.

点评：将问题等价转化为一个方程是否存在有解的问题，使局部含有x2-x1的统一形式进行换元构造新函数，再通过函数性质来解题.

策略四——利用等式消元解决

多元问题中常常用同一个变量表示，可以建立等量关系，利用等式消元.

分析：由于题目中给出两个等式，求的是xy的取值范围，将多元函数转化为一元函数是解决多元函数问题的重要途径之一.

点评：解答多元函数问题困难的根本原因在于它的多元，因此化多元函数为一元函数是解决多元函数问题的重要途径之一，消元法本质上是数学中转化与化归思想的一种体现.在平时解答多元函数问题时，会遇到以下困扰：消元前后的表达式不等价，主要原因是忽视表达式自身的限制和相关等式之间的制约，消元需要“去得明白”，这是实现学生思维逻辑提升的重要所在.

策略五——利用不等式解决

求多元函数问题时，在解题过程中，可以逐步地调整多元函数的结构形式，使之与我们学过的不等式（如基本不等式，柯西不等式）结构类似，利用不等式解决.

例7 设二次函数（fx）=ax2-4bx+c，对于任意的x∈ R，恒有（fx）≥0，且f（′x）满足f（′0）＜0，则的最大值是___________.

点评：本题在一个新的环境下考查利用基本不等式求最值，解题的关键是根据已知条件消掉目标式中的多元，通过对目标式的变形，使用基本不等式转化为考生所熟悉的求最值的题型；连续使用同向不等式时要关注不等号方向，保证等号条件的一致性.

策略六——利用整体处理解决

观察式子的结构，有时会将式子整体处理.

例8 设实数a、b、c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的取值范围为________.

解析：由a2+b2≤c≤1得a2+b2≤1，可将其视为以原点为圆心、1为半径的圆周及其圆内部，可以假设其中r∈［0，1］，θ∈［0，2π］均为参数，代入a+b+c≥a+b+

例9 已知函数（fx）=3x+a与函数（fx）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，则的最小值为_____.

点评：以上两个例子，想法都是引入其他变量，怎样确定引入的变量，需要因题而异，根据题目的实际情况来确定.此种解法在引元消元时，注意到原有自变量都不合适，另外引进变量后则豁然开朗，使问题易于解决.在此特别提醒注意引元范围，引入变元范围没有得到限制是一个易错点，它的范围是由原表达式中变量的范围影响的，引入变元需要“来得清楚”.

策略七——运用不等式解决

近几年的高考试题很少单纯显性地考查基本不等式，更多的试题是将均值不等式融入到其他知识中隐性地考查.于是，运用基本不等式求一些多元函数的最值或确定参数值的题目便不断涌现出来.此类题目对学生来讲富有挑战性，要顺利地解决问题，不仅要求数学基本功扎实，更要有较高的数学素养，能根据题目灵活地变形为不等式的应用创设条件.

例10 当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大时，的最小值为_________.

解析：由4a2-2ab+4b2-c=0，可得2c=3（a+b）2+5（a-b）2，，当且仅当时取等号，即2a=3b时取等号，此时

利用柯西不等式证明某些不等式或探求某些多元函数的最值（值域）时，确实简捷明了，求函数的极值关键在于如何凑出常数.有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧.因此，创造条件灵活运用柯西不等式，将会给我们带来许多方便.

总之，解题的关键在于根据问题的特点，选择恰当的解题策略，有时多种方法融为一体，共同发挥作用.