方案设计与决策型问题有效解决策略探微

马志强

[摘 要] 方案设计与决策型问题是初中数学的重要题型，也是教学的重难点，更是中考的重要考点. 此类题主要与方程、不等式、函数等教学内容有一定的联系，在解决过程中往往需要用到分类讨论、建模等数学思想，难度大，综合性强，题型灵活多样，因此，认真探究方案设计与决策型问题的有效解决策略，有着重要的意义.

[关键词] 方案设计；思想方法；方程；函数；模型

方案设计与决策型问题是探究最佳解决方案的一种题型，这种题型主要应用于工程问题中的调配、运输成本最大（小）问题、商品销售中的利润问题等，其最大的特点是数量较为复杂，题型较为灵活，综合性较强，难度较大，是中考的热点问题. 本文结合近几年中考出现的具体题目，通过详细分类对之进行深入探究，力求找到解决此类问题的具体策略，以提高学生的数学学习效率.

利用不等式（组）进行方案设

计决策

不等式（组）是初中数学教学的重要内容，利用不等式（组）进行方案设计决策是一种重要的解决方法，能够为学生提供解决此类问题的思路与方法.

例1 江苏阜宁地震发生后，全国人民发扬“一方有难，八方支援”的精神，掀起了抗震救灾的热潮. 某地民政部门经过一天的努力，募集到了30吨瓶装饮用水和13吨方便面等食物. 现打算将其运输到灾区，需要租用A，B两种型号的货车进行运载. A型货车每辆可运载5吨水和1吨食物，B型货车每辆可运载3吨水和2吨食物，如果租用的货车共有9辆，并且要求一次性将捐助物资运完，应如何选择运输方案？

分析 通过分析发现，运输方案的选择与车的数量有关，这就需要设一种货车的数量，然后利用所设的未知数表示出所有的未知量，并根据题目要求建立适当的不等式组进行解决. 设租A型货车x辆，则租B型货车（9-x）辆. 根据这些捐助物资需要一次性运完可得一元一次不等式组5x+3（9-x）≥30，x+2（9-x）≥13， 解得x≥，x≤5， 所以不等式组的解集为≤x≤5. 因为x取整数，所以x可取2，3，4，5. 从而可得到运输方案共有四种：①租用A型货车2辆、B型货车7辆；②租用A型货车3辆、B型货车6辆；③租用A型货车4辆、B型货车5辆；④租用A型货车5辆、B型货车4辆.

通过一元一次不等式组可以进行方案的设计和优化并进行科学合理的决策，这是解决此种题型最常用的方法之一. 只要学生能够熟练把握其中的各个数量，运用不等式建立不等关系，就能迅速解决问题. 因此，在教学过程中，教师要重视这种题型的教学，并进行科学的方法指导.

利用方程进行方案设计决策

方程是初中数学教学的重要内容，应用也较为广泛，在应用方程解决实际问题中，大多是利用等量关系求出具体的数值从而解决问题，而利用方程进行方案设计与决策的题型则相对较少，这种类型的题目往往需要先进行简单分类，采用分类讨论与建模思想解决问题，运算量不大，运算也相对简单，大都需要与实际相联系，才能顺利解决问题.

例2 里约奥运会期间，一球迷俱乐部150人打算租A，B，C三种型号的车去看篮球决赛，这三种型号的车的载客量不同，A，B，C三种型号的车的载客量分别是50人、30人、10人，并且要求每辆车必须满员，A种型号的车最多租2辆，试求一次性载完这150名球迷的租车方案.

分析 通过分析发现，要想解决这一问题，需要先确定A型车的数量，然后设租用B或C型车的数量，接着用所设未知数表示其他未知量，建立方程进行化简，最后通过讨论解决问题. 由于A型车最多租2辆，所以可设租B型车x辆，租C型车y辆，然后分两种情况进行讨论：①当租A型车1辆时，根据题意，可列出方程30x+10y+50×1=150，化简得3x+y=10，因为x，y都为整数，所以满足关系式的x，y有x=1，y=7或x=2，y=4或x=3，y=1. ②当租A型车2辆时，根据题意，可列出方程30x+10y+50×2=150，化简得3x+y=5，因为x，y都为整数，所以满足关系式的x，y只有x=1，y=2. 综上可知，租车方案共有以下四种：方案一，租A型车1辆、B型车1辆、C型车7辆；方案二，租A型车1辆、B型车2辆、C型车4辆；方案三，租A型车1辆、B型车3辆、C型车1辆；方案四，租A型车2辆、B型车1辆、C型车2辆.

由此可见，利用方程结合实际情况也可以有效解决方案设计与决策型问题，但这种解决方案与分类讨论数学思想有着密切的联系，需要建立在学生对分类讨论思想方法熟练掌握和运用的基础之上.

利用函数进行方案设计决策

1. 利用一次函数进行方案设计决策

函数关系是一种重要的数量关系，利用函数关系通过计算得出的结果作为决策的依据是中考试题中经常出现的题型，这种题型往往不会只是单一的函数问题，往往与不等式结合在一起，根据函数的性质和不等式的范围，通过计算得出最省的方案，并以之作为决策的重要依据.

例3 为了改善西部地区的教育面貌，东部城市A市打算支援西部400台电脑，东部城市B市打算支援西部1000台电脑. 为了资源均衡、节约费用，现打算从东部运800台给C市，运600台给D市. 已知从A市运往C市、D市的运费分别是3元/台和5元/台，从B市运往C市、D市的运费分别是4元/台和8元/台. 如何调运才能使费用最省？最省的方案是什么？

分析 通过审题可以发现，运费与所运的台数有着密不可分的联系，因此可以设从A市运往C市x台，总费用为y元，则从A市运往D市（400-x）台，从B市运往C市（800-x）台，从B市运往D市（200+x）台. 根据题意得y=3x+5（400-x）+4（800-x）+8（200+x），化简得y=2x+6800. 因为2>0，所以y随x的增大而增大，当x=0时，调运费用最低，为6800元，此时的调运方案为从A市运往C市0台，从A市运往D市400台，从B市运往C市800台，从B市运往D市200台.

从以上分析可以看出，利用一次函数进行方案设计与决策比利用不等式或不等式组解决问题更为简单，但需要对一次函数的相关知识尤其是函数的性质掌握较好.

2. 利用二次函数进行方案设计决策

利用二次函数进行方案设计决策也是中考常见的题型，其大多与商品交易中的销售利润有关，数量复杂、综合性强，是学生容易失分的题目，这种题型有时与方程、不等式结合在一起，有时独立出现，通过将实际问题转化为二次函数，将所列的函数解析式进行化简，然后利用二次函数的性质求最值，从而解决问题.

例4 泰州市国美商城将进价为2000元的某品牌洗衣机以2400元售出时，每天可以卖出8台，为了增加利润，商城决定在“五一”期间搞一次降价促销活动. 通过调查发现，洗衣机的售价每降低50元，平均每天就会多售出4台. 试问这种洗衣机每台降价多少元时，商城才能获得最大的销售利润，最大销售利润是多少.

分析 要解决这一问题，必须搞清降价与销售利润之间的关系. 但降价和利润都是未知量，这就需要学生先设元，然后根据题意得出两者之间的关系. 设每台洗衣机降价x元，商场每天销售这种洗衣机的利润是y元，由题意可得y=（2400-2000-x）8+x，化简得y=-x2+24x+3200. 要想求出商场每天销售这种洗衣机的最高利润，还需将二次函数解析式化为顶点式，并利用顶点式坐标公式求出最值. 因为y=-x2+24x+3200=-（x-150）2+5000，根据二次函数的性质可知当x=150时，商场每天销售这种洗衣机的利润最大，最大利润是5000元.

通过以上分析可以看出，利用二次函数解决方案设计与决策问题可以实现化繁为简、化难为易，但需要注意的是，在利用二次函数的性质求最值时，一定要注意自变量的取值范围，只有顶点坐标的横坐标在自变量的取值范围之内才能准确求解.

当然，方案设计与决策型问题在实际教学中并不是单一运用不等式、方程、函数就可以解决，大多是综合以上两种甚至三种方法，这就需要学生熟练掌握各种题型并灵活运用，不断提高自身分析问题和解决问题的能力.

总之，方案设计与决策型问题是初中数学的重要问题，也是学生感觉较难的题型，因此，在实际教学过程中，教师要对学生进行解题方法的指导，积极探求有效解决此类题型的有效策略，不断提高学生解决实际问题的能力，实现数学课堂教学的高效化.