浅议安徽中考数学卷选择题“9+1”现象中的“1”

刘引　乔倩倩

[摘 要] 安徽省中考数学试卷具有自己的“特色”，尤其是选择题，更是形成了独特的“9+1”现象，其主要考查数形结合思想和分类讨论思想，综合性较强，对学生的知识掌握情况与应用能力都有很高的要求. 此类题型的特点是信息量大，数学思想丰富，需要学生具有扎实的基本功，选拔性和区分度明显.

[关键词] 中考；数学卷；第10题；选择题

安徽省近年来的中考数学试卷，卷面成熟、风格稳健、题量稳定、难易适中，注重利用数学思想方法和数学语言来考查四基（基础知识、基本技能、基本方法、基本活动经验），其题型、题量已自成风格，尤其是选择题，更是形成了独特的“9+1”现象. 现列举安徽省近五年的中考数学卷第10题加以品味，在对比中一窥“9+1”现象中的“1”，以期能举一反三.

试题回放

1. 以动点为背景，考查数形结合、分类讨论思想

例1 （2011年）如图1，点P是菱形ABCD的对角线AC上一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M，N两点. 设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图像大致是（ ）

解析 本题中P为动点，P的位置不同，则MN的位置也跟着发生变化，所以此题应分两种情况进行讨论.

当0

当1

结合函数关系式，可知选项C的图像大致符合.

赏析 本题作为选择题的压轴题，是安徽省中考数学卷的一道特色题，综合考查了四边形、相似三角形和二次函数的图像等知识. 根据动点P的不同位置，带动线段MN位置的变化，进而对其进行分类讨论，把复杂的问题转化为几个小问题来逐一解决. 学生只有正确领会了题目意思，熟练掌握二次函数的相关知识，并能和几何知识相联系，才能较好地解决问题. 此题需要学生的深入探究和准确分类，对学生的思维要求较高.

2. 以图形的剪拼为背景，考查数形结合、分类讨论思想

例2 （2012年）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图3所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）

A. 10 B. 4

C. 10或4 D. 10或2

解析 由于直角梯形的两个直角均可为直角三角形的直角，故本题有两种可能，需分类讨论.

如图4，由勾股定理得CD==2，因点D是斜边AB的中点，所以AB=2CD=4.

如图5，同理可得CE==5，所以AB=2CE=10.

综上可知，原直角三角形纸片的斜边长是10或4，故选C.

赏析 此题展现了一个操作性数学活动，对学生的逆向思维能力提出了较高的要求，本题需要学生熟练掌握并运用直角三角形的相关定理，进而通过“剪、拼”的操作活动画出相应的直角三角形. 又因为直角梯形有两个直角，这两个直角都可以作为直角三角形的直角，故需运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解.

3. 以圆为背景，考查数形结合、分类讨论思想

例3 （2013年）如图6，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）

A. 当弦PB最长时，△APC是等腰三角形

B. 当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC

C. 当PO⊥AC时，∠ACP=30°

D. 当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形

解析 本题需要综合运用圆的相关知识逐项判断各选项的正误.

当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP=90°，再根据等边三角形的性质及圆周角定理可得出AP=CP，则△APC是等腰三角形，选项A正确.

当△APC是等腰三角形时，分三种情况：当PA=PC时，点P在AC的垂直平分线上，所以PO⊥AC；当AP=AC或CP=CA时，点P与点B重合，所以PO⊥AC，选项B正确.

当PO⊥AC时，由垂径定理得PO是AC的垂直平分线，当点P在B点的位置时，∠ACP=60°，选项C错误.

当∠ACP=30°时，∠BCP=90°或∠CBP=90°，△BPC是直角三角形，选项D正确. 故选C.

赏析 本题难度较大，是近年来安徽省中考数学选择题压轴题中，唯一与圆有关的开放性问题，不仅考查了等边三角形的性质、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、垂径定理等核心知识，还考查了学生的动手操作探究能力及在开放的条件下分析问题、解决问题的能力. 而如何利用数形结合、分类讨论思想解决问题是本题的关键. 另外，从四个选项的呈现形式来看，也是层层推进，环环相扣，命题专家可谓独具匠心、别具一格.

4. 以正方形为背景，考查数形结合、分类讨论思想

例4 （2014年）如图7，正方形ABCD的对角线BD的长为2，若直线l满足：①点D到直线l的距离为，②A，C两点到直线l的距离相等，则符合题意的直线l的条数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3D. 4

解析 连接AC与BD交于点O，因为正方形ABCD的对角线BD的长为2，所以OD=. 由条件知直线l∥AC且点D到直线l的距离为，图8为其一种情况. 同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，故共有两条直线满足条件，选B.

赏析 本题主要考查了正方形、平行线、点到直线的距离等相关知识，本题难在分析过程中既要涉及逻辑推理，也需要一些合情猜想，点D到直线AC的距离小于是解决本题的关键. 作为选择题的压轴题，本题在效度上有点遗憾，很多学生只通过思考直线l与直线AC平行，且在点D的左右两侧各有一条，便确定了本题的正确答案. 试题在命制过程中，线段的长短也需精雕细琢，才可能实现试题预想的考查学生思维品质的价值.

5. 以函数为背景，考查数形结合思想

例5 （2015年）如图9，一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像交于P，Q两点，则函数y=ax2+（b-1）x+c的图像可能是（ ）

解析 由一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c图像相交于P，Q两点，可得出函数y=ax2+（b-1）x+c可以看作是由y-y得到的函数，故y与y，y的关系密切.

观察图像可知，y与y交于P，Q两点，且它们的横坐标为正数，说明当y=y时，得出的x值有两个，且均为正数，等价于y=y-y=0时，方程有两个不相等的正数解，即方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的实数根，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=->0，即可排除B，C，D.

此题综合考查了方程的解，以及图像与x轴交点横坐标的对应关系.

赏析 本题考查函数图像知识，一改往年分析几何图形中的动点问题判断函数图像的考法（分析实际问题或几何图形判断函数图像，根据函数图像和几何图形判断结论正误），考查了二次函数的图像，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系，以及方程和二次函数的关系等，综合性强. 体现了对数形结合思想的考查. 预计2017年会考查几何图形中动点问题的函数图像判断.

对2017年中考数学复习的启发

近几年安徽中考数学的第10题主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，综合性较强，对学生的知识掌握与应用都有很高的要求. 此类题型的特点是信息量大，数学思想丰富，需要学生具有扎实的基本功，选拔性和区分度明显. 可以预见，2017年的中考数学第10题，仍然以考查学生的数形结合能力和分类讨论思想为主，在今后的中考数学复习中，我们还需要注意以下几点.

1. 重视基础，回归课本

近年来，安徽省中考数学第10题的侧重点各有不同，但考查学生的数形结合能力、分类讨论思想是主旋律. 这些试题虽然“高于教材”，但所用基础知识原型都来源于课本，它们或是进行了适当的改编，或是几个知识点的融合等，这些题的出现也警示我们，务必高度重视基础教学，要适时地以课本为源泉，进行一题多解、一题多变的训练，牢牢地把握住数学基本方法，做到举一反三.

2. 狠抓重点，关注热点

纵观近几年安徽中考第10题会发现，规律探究、动手操作、开放探索等题型是中考命题的热点题型，这些题型有利于综合考查学生的发散思维能力和探索创新能力. 所以，我们务必要在此类题型上多下功夫，建立数学模型，为解答做好充分准备，尤其是以几何图形中的动点为背景的函数图像判断.

安徽中考数学第10题的命制，开放性、灵活性、综合性是一种趋势，在2017年考试中，数形结合思想仍会是考查的重点. 结合近几年中考数学命题趋势和特征，笔者现提供两题以餐读者，希望能对2017年中考复习有所帮助.

题1 如图10，在菱形ABCD中，∠BAD ∶ ∠ADC=1 ∶ 2，对角线AC=20 cm，点O沿A点以1 cm/s的速度运动到C点（不与点C重合），以点O为圆心的圆始终保持与菱形的两边相切，设⊙O的面积为S，则S与点O运动的时间t的函数图像大致为（ ）

题2 如图11，△ABC内接于⊙O，P是圆周上的一个动点，已知AC=BC，∠BAC=30°，则下列结论不正确的是（ ）

A. 当∠PAC=90° 时，四边形PACB的面积最大

B. 当四边形PACB的面积最大时，∠PAC=90°

C. 当∠PAC=60°时，四边形PACB是等腰梯形

D. 当四边形PACB为等腰梯形时，∠PAC=60°