基于粒子滤波的NAR模型状态过程估计

陈亚静，蔡如华，吴孙勇，桂丛楠

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林　541004)



基于粒子滤波的NAR模型状态过程估计

陈亚静，蔡如华，吴孙勇，桂丛楠

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林541004)

针对状态转移方程是非线性自回归(NAR)模型的一类动态系统最优估计问题，提出利用粒子滤波(PF)方法估计NAR模型状态。该方法用正交最小二乘法建立NAR模型，得到系统状态方程和量测方程，利用PF方法估计NAR模型状态，减少因参数估计带来的状态估计误差。仿真实验表明，基于PF方法估计NAR模型状态是可行的，且比传统的NAR模型估计精度更高。

粒子滤波；状态空间模型；NAR模型；正交最小二乘法

在金融数据预测、光纤陀螺信号处理、区域降雨量预测等时间序列问题研究中，发现很多时间序列具有非线性特征，用传统的时间序列分析方法如ARMA模型、卡尔曼滤波(KF)[1-2]虽然可取得较好的效果，但对于强非线性非高斯问题处理效果不佳。为此，有学者利用BP神经网络[3-4]等非线性方法弥补线性模型的不足，但神经网络方法训练过程复杂且神经节点数量难以确定。非线性自回归模型具有明确的解析表达式，结构和参数采用正交最小二乘法确定，很好地拟合了非线性时间序列[5-7]。由于NAR模型参数是利用有限特定样本求出，并不能适用于所有情况，因此，随时间推移由参数估计带来的误差会越来越大，导致状态估计不准确。为此，引入状态空间模型理论，利用能很好处理非线性、非高斯问题的粒子滤波方法[8-10]估计NAR模型状态，当系统得到最新观测数据时，对粒子进行更新，得到状态修正值，提高滤波精度。

1　NAR模型原理

考虑时序NAR模型

(1)

其中：g(·)为非线性函数；﹛xt﹜，t=1,2,…,N为时间序列；εt为满足期望为0、方差为σ2的高斯白噪声。对于任意一个连续的非线性函数都可由多项式逼近，故式(1)可由多项式非线性AR模型近似，即

(2)

简写成

(3)

利用非线性自回归模型对时间序列建模时，需利用推广的Gram-Schmidt正交化方法同时确定模型结构和参数，进而利用粒子滤波器进行滤波，从含有噪声的观测数据中估计NAR模型状态。

2　基于粒子滤波的NAR模型状态估计

2.1粒子滤波模型的建立

粒子滤波是估计非线性、非高斯系统状态的一类滤波器，为实现NAR模型系统状态的估计，需要建立基于NAR模型的粒子滤波模型，即系统的状态方程和量测方程。

用推广的Gram-Schmidt正交化方法确定NAR模型的结构和参数[7]。考虑有N个真实观测值，则式(3)写成矩阵形式为

X=Zψ+ε，

(4)

即

(5)

从式(5)的M列回归项矩阵Z中选出Ms列对模型贡献大的时间序列，使得

(6)

其中：W=[W1,W2,…,WΜ]Ν×M为正交矩阵；B为上三角矩阵。由式(4)和式(6)可得

(7)

(8)

式(8)两边同除以XTX，得

(9)

令

(10)

1)令W1(i)=Zi，i=1，2，…，M，则

求出e1(i)的最大值为e1(j)，则W1=Zj就是寻找的Ws的第1列，且g1=g1(j)，e1=e1(j)。

2)令i=1，2，…，M，i≠j，则

3)重复步骤1)、2)，当AIC(Μs+1)≥AIC(Μs)时停止，则找到的新的回归项记为Zs=WsBs，对应的模型参数ψs可由Bsψs=gs得到。

4)通过上述步骤，式(2)可化简为：

(11)

其中：ai(1≤i≤S)为正交最小二乘法确定的NAR模型系数；S为模型阶次；Zi(1≤i≤S)为选择的对模型有显著意义的回归项，且Z1=1。

由式(11)可建立基于NAR模型的粒子滤波模型：

(12)

2.2状态估计的实现

2.3状态估计的评价指标

为了评价基于PF方法的NAR模型状态估计的精度，采用下列3个精度评价指标:平均绝对误差

(13)

平均绝对百分比误差

(14)

均方根误差

(15)

3　仿真实验及结果分析

针对给定的一组原始仿真数据,利用推广的Gram-Schmidt正交化方法建立NAR模型,然后根据状态空间模型理论建立基于NAR模型的粒子滤波模型：

(16)

其中：xt为状态量；zt为实测仿真数据；ai(1≤i≤4)为NAR模型系数，由正交最小二乘法得到其对应的值分别为-0.612 9、0.590 8、0.927 9、1.426 4。

由Matlab编程，得到对应的状态值和量测值如图1所示。由基本粒子滤波状态估计方法，设置蒙特卡洛实验参数：每次实验的粒子数N=10 000，持续时间t=95s，随机均匀产生初始粒子。通过式(16)实现系统的预测和更新过程，得到对应的状态估计值，与传统的NAR模型估计结果比较如图2所示，同时得到2种方法对应的估计误差如图3所示。

图1　状态值和量测值Fig.1　State values and measurement values

图2　PF-NAR和NAR方法状态估计值与真实状态值Fig.2　State estimation values of PF-NAR and NAR

图3　PF-NAR和NAR方法的估计误差Fig.3　Estimation errors of PF-NAR and NAR

从图2可看出，前20s两种方法的估计结果相差无几，20s之后，由于误差影响逐渐增加，PF-NAR估计优于NAR估计，说明考虑量测信息实时修正估计结果的粒子滤波方法比传统的NAR估计结果精度高。从图3也可看出，PF-NAR方法的误差虽然有波动，但比NAR方法的误差波动小得多，且在零值附近随机波动。分别采用平均绝对误差、平均绝对百分比误差和均方根误差3个精度评价指标对PF-NAR的估计结果进行评估，并与NAR估计结果进行比较，得到的精度评价指标比较值如表1所示。从表1可看出，粒子滤波估计NAR过程状态比传统的NAR模型估计精度更高。

表1　PF-NAR和NAR估计精度指标

4　结束语

对于状态转移方程是非线性自回归模型的一类动态系统最优估计问题，由于传统参数估计造成的误差积累使NAR模型状态估计不准确，采用PF方法实现NAR模型状态估计。针对建立的NAR模型，引入状态空间模型理论转换成粒子滤波模型，利用能很好处理非线性、非高斯问题的PF方法从含有噪声的观测数据中实现滤波过程，估计出NAR模型状态，并与传统的NAR模型估计结果比较。从仿真结果可看出，用粒子滤波方法来估计此类非线性系统状态是可行的，且取得了较好的滤波效果。

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编辑：翁史振

Estimation of NAR model state based on particle filter

CHEN Yajing, CAI Ruhua, WU Sunyong, GUI Congnan

(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

For a class of dynamic system optimal estimation problem that the state transition equation is nonlinear auto-regressive(NAR) model, a particle filter method is proposed to estimate NAR model state. Firstly NAR model is established by using the orthogonal least squares, and the state equation and measurement equation of the system are established according to NAR model. And then NAR model state is estimated by the particle filter method to reduce the state estimation error. Simulation experiments show that the estimation of NAR model state based on particle filter is feasible, and the estimation precision is higher than the traditional NAR model.

particle filter; state-space model; NAR model; orthogonal least squares

2015-12-15

国家自然科学基金(61261033,41201479，61062003,61162007)；广西自然科学基金(2013GXNSFBA019270)

蔡如华(1971-)，男，广西玉林人，副教授，研究方向为小波信号处理。E-mail:ruhuac@guet.edu.cn

TN911

A

1673-808X(2016)03-0178-04

引文格式： 陈亚静，蔡如华，吴孙勇，等.基于粒子滤波的NAR模型状态过程估计[J].桂林电子科技大学学报，2016,36(3):178-181.