微分几何在平面曲线测设中的应用

2016-09-08师军良孙清娟

测绘通报 2016年8期

关键词：微分切线测绘

师军良,孙清娟

(黄河水利职业技术学院，河南开封 475004)

微分几何在平面曲线测设中的应用

师军良,孙清娟

(黄河水利职业技术学院，河南开封 475004)

提出了利用微分几何原理计算曲线测设参数，建立了适用于所有平面曲线类型(直线、单圆曲线、缓和曲线)的测设参数计算模型，具有计算简便、实用性强等特点，且易于在计算机上编程实现。通过在高速公路的实际应用，表明该方法可适用于各种平面线形测设数据计算，能够满足工程施工的要求。

微分几何；平面曲线；测设；曲率变化率

在公路、铁路等线型工程勘测设计过程中，由于受地形、地质等因素影响，经常无法按运营效率最高的直线设计线路，需要将线路转变方向，即在两条直线线路之间插入平面曲线。平面曲线有单圆曲线、综合曲线(缓和曲线和单圆曲线)、回头曲线等形式[1]。

平面曲线测设是线路勘测设计阶段的一项主要测量工作，现有的测设方法均是根据平面曲线的具体线型及曲线的平面几何特性，选择相应独立的计算模型和测设方法，如切线支距法、偏角法等[2]。目前最为常用的方法是通过选择的曲线模型计算出主点坐标，然后用全站仪或GPSRTK直接进行坐标法测设出主点实际位置。由于线路由直线转入曲线段后，既有缓和曲线段，又有中间的圆曲线段，这些线段都需要根据各自的数学模型进行分段计算，使得计算量大且较为繁琐，不利于在计算机上用自编程序进行自动解算。针对上述存在的问题，本文基于微分几何原理研究建立适应于所有平面曲线类型测设的算法模型，实现各种平面曲线统一、高效、简便的测设计算，且易于在计算机上编程实现，通过在日南(日照—南阳)高速公路某标段线型勘测设计中的实际应用，表明该算法模型能够满足施工精度要求。

一、基于微分几何原理的平面曲线测设计算模型

1. 基于微分几何原理的平面曲线测设计算方法

公路线路的线形主要为直线、单圆曲线、缓和曲线，直线可以视为半径为无穷大的曲线，单圆曲线可以看成是半径为r的曲线，缓和曲线则是半径在(r，∞)范围渐变的曲线。如果已知曲线上一系列点的平面坐标，根据工程测量学知识可将该曲线测设出来[3]。如图1所示，设过某曲线起始点A的切线的方位角为αA，该曲线上任意点i的切线与过曲线起点A的切线的夹角为β，点i的切线方位角αi；若A点坐标(xA，yA)已知，依据平面几何关系可知

αi=αA+β

(1)

则计算曲线上任一点坐标的积分公式为[4]

(2)

由式(2)可以看出，计算曲线任意点i的坐标时，如果已知曲线上任意点i的3个特征参数，即曲线起点A的平面坐标、切线坐标方位角αA和过任意点i的切线与过曲线起点A的切线的夹角β，就可以求出弧长li的i点平面坐标(xi，yi)[5]。