错位相减求和方法在教学中的拓展

王永成（浙江省嘉兴市海盐高级中学）

错位相减求和方法在教学中的拓展

王永成
（浙江省嘉兴市海盐高级中学）

数列求和是数列专题中的一个重点内容，也是高考中的常考内容，而错位相减法是解决数列求和问题的一种典型的方法，同时它也是“差比数列”的求和公式推导，因此它有着广泛的应用。此法虽然适用范围明确，思路清晰，过程的形式固定，但是计算量较大，学生得分率很低，特别在高考试卷中得分低尤为突出。为了解决这样的现状，主要谈了教学中的几点教学拓展，以便于学生能更好地掌握此法。

教学拓展；数列求和；错位相减法；差比数列

一、错位相减法的背666F

数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。错位相减法是数列求和的重要方法，也是高考的一大热点。在高中数学“等比数列前n项和”一节中，给出了等比数列｛an｝前n项和Sn的推导方法：

Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1，等号两边同乘以公比q得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn，

求这类数列前n项的和时通常在和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，通常将这种方法称为“错位相减法”，顾名思义：“错一位两式相减”。

二、错位相减法的应用

错位相减法除了用于等比数列前n项和公式的推导之外，还能解决一类数列的求和问题。这一类数列通常被教师形象地称为“差比数列”。即，等差数列｛an｝与等比数列｛bn｝对应项乘积的数列｛anbn｝。

设Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn

即Sn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+an-1b1qn-2+anb1qn-1①

①×q得qSn=a1b1q+a2b1q2+…+an-2b1qn-2+an-1b1qn-1+anb1qn②

①-②得（1-q）Sn=a1b1+（db1q+db1q2+…db1qn-2+db1qn-1）-anb1qn

三、错位相减法教学的反思

在课后的作业情况及与学生的交流讨论中，了解到学生对错位相减法的困惑。出错的主要原因有：学生不知道何时用错位相减法，计算过程出错，计算结果一般比较复杂导致学生信心不足，或者结论未对公比讨论等等。

笔者对此反思，试着探讨发现错位相减法的教与学存在着哪些需要注意的细节并有效地进行拓展。

四、错位相减法的拓展

用错位相减法求和思路清晰，解题步骤明确，学生也容易理解，但是教学实践中发现学生用错位相减法求“差比数列”的和错误率很高，为此在教学上需要有所拓展，提高解题的有效性。

1.从数列结构认识上的拓展

例1.设an=2n+1，bn=3n，Tn=anb1+an-1b2+…+a2bn-1+a1bn，求Tn．

对此问题，仅有少数几个学生能够想到用错位相减法做，很出乎教师的意料。在与学生的交流过程中了解到其中的问题所在，不少学生认为这并不是差比数列｛anbn｝的求和问题，因为差比数列的和应该是Tn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn，而所给问题中的和是Tn=anb1+an-1b2+…+a2bn-1+a1bn

面对此种情况，教学可以从两个方面去拓展：一是反问学生：“难道an，an-1，…，a2，a1不是等差数列吗？”让学生从“差比数列”的含义去思考；二是提示学生：既然已经知道，an=2n+1，bn=3n，那么和Tn=anb1+an-1b2+…+a2bn-1+a1bn是否可以写得更具体一些呢？

经过讨论和尝试，大多数学生明白了：一个等差数列，顺序上倒过来仍然是一个等差数列（公差是相反数）。不仅如此，一个等比数列，顺序上倒过来仍然是一个等比数列（公比是倒数）。还有，将Tn写成Tn=（2n+1）×3+（2n-1）×32+（2n-3）×33+…+5×3n-1+3×3n。

更可以直观地看出：和式中每一项，前一个因式成等差，后一个因式成等比。问题仍然是“差比数列求和”。

2.从操作过程的细节上的拓展

知道了怎么做，并不等于就做得对。对于一部分数学基础较差的学生来说尤其如此。所以教学上还需要关注细节。还是以例1为例：

解：由an=2n+1，bn=3n，得

Tn=（2n+1）×3+（2n-1）×32+（2n-3）×33+…+5×3n-1+3×3n①

①×3得

3Tn=（2n+1）×32+（2n-1）×33+…+7×3n-1+5×3n+3×3n-1②，

-2Tn=（2n+1）×3+（9-3n+1）-3×3n+1=-4×3n+1+或字里行间圈、点、勾、画，留下一行行娟秀小字，记录下点滴阅读感受，待日后回味细品，这才是真正的阅读。九年级上册第六单元系统地教学生圈点批注的方法，我认为不用等到九年级，初一就可以尝试着做起来。当然，养成科学的阅读习惯需要经历一个转变、适应的漫长过程。

首先，要让孩子知道应该读什么。教师可根据教学需要推荐适合的美文，比如学习了《背影》一文，为了使课堂得到延伸，启发学生在平常小事里发掘挚爱亲情，多关注那些因常见而被忽视的温情细节，我推荐了史铁生的《我与地坛》第二部分。作者瘫痪，母亲生怕触碰儿子脆弱、敏感的神经，便让“跳”“跑”等字眼在嘴里消失了，小小细节让学生体会到母亲的良苦用心。多介绍一些优秀的作家作品，让学生有文可读。

其次，教学生怎么读。这需要争取家长配合，当教师推荐美文给学生阅读的时候，不要图省事，一“搜”了之，一定要打印出来，让学生直接在纸上“阅读”。哪些词语充满灵性，让人“惊艳”？哪些句子能触碰到你柔软的心房？把它们找出来，珍而重之，动情地读一读、仔细地划一划。不光用眼睛看，更要用脑子想，在旁边写一写读到这些文字的感受，哪怕就简单的一个字——“好”！不用担心，渐渐地学生自己也不会满足于“一字真言”。

最后，为了培养学生的阅读习惯，需要教师不间断地指导、监督，还需要保证一定的阅读时间。利用好在校的零碎时间——早自习、午休课，带着他们读读文章、说说感受、写写体会。“写”是对“说”和“想”的整理，使我们的思考由浅入深、更有条理。经过系统、有序的训练，学生势必能掌握细读慢阅的方法，养成良好的阅读习惯。

2.合理利用网络拓展阅读范围，展示阅读成果

网络是一把双刃剑，一方面拓宽了学生的知识面、增加了阅读量，另一方面高速度带来了“浅”阅读、浅思维，但多数学生还是沉迷其中。如何正确利用网络资源，降低网络对中学生阅读习惯的不良影响？这不仅是语文教育者的迫切要求，也是现实和时代的需求。

首先，堵不如疏，教者应充分利用网络的便利引导学生有针对性地搜集阅读资料，拓展阅读视野。当学习到曹操的《观沧海》《龟虽寿》时，学生接触到一个踌躇满志、自信乐观的政治家形象，与传统观念中敏感多疑的白脸奸相产生了强烈的对比。一键链接到“百家讲坛”中易中天对曹操的解读，进一步延伸课堂，让不同的思想碰撞出新的灵感，增加学生思维的宽度和深度。

其次，利用多媒体这个平台，及时高效地分享各自的阅读体会。建设班级博客，给学生提供一个交流思想的驿站，也方便教师布置课后阅读任务、设定适宜的互动话题。青少年正处在一个“自我发现”的特殊阶段，产生了强烈的自我意识和独立要求，开始用批判的眼光来看待周围事物，有独到的见解，喜欢质疑和争论；期望自己在集体中占据重要位置，渴望被重视、被需要。利用青少年的这些心理特点，鼓励大家抒写自己独特的感受、积极参与阅读体会的交流，并为此提供安全、健康的平台以满足他们被关注的心理需求。

最后，可定期组织各任课教师和学生评选较有价值的读书笔记，发现独特的阅读视角，打印成册各班交流。这样既点燃了学生参与的热情也表明了“大众”的审美倾向，更好地做出正面引导。

以上就是我对当前阅读教学中遇到的问题的思考。有人说一个人的阅读史就是这个人的精神成长史，通过一个民族的阅读史可以看出这个民族思想的深度和高度。信息时代更需要打造阅读的一代，培养良好的阅读习惯、提高修养，构建读书人的国度。

·编辑杜嫣然