活学巧用导数的几何意义

汪灶华（江西省婺源县紫阳中学）

活学巧用导数的几何意义

汪灶华
（江西省婺源县紫阳中学）

作为一名刚带完2015届高考的一线老师，我总想为来年高考备战的老师和同学们留下一点自己的感触.把今年试题与往年试题（导数的几何意义客观部分）进行仔细对比，然后又翻看了一下这几年的考试大纲，最终发现一个规律：在全国上下把素质教育放在第一位的今天，命题老师把实际生活中一些常见图形放到试卷中来，纵观前几年江西高考数学题（尤其是理科），表面上是考查学生对导数的实际意义掌握情况，而实际上还综合考查了学生对数学的探究能力和知识应用能力.现在对导数的实际意义的考查题目分为两个层次：第一层次，给出原函数f（x）及其导函数f′（x）中的一个函数图象，让你推测没有给出的那个函数图象，或者求曲线的切线方程，应该说这一层次题目考查力度停留在表面，难度较小；第二层次，提供给你一定的生活背景图（看上去常见，也挺规则的），要求你观察并且推出某些量（面积、体积等）的变化多少及快慢问题，这一类问题没有给我们任何图象，而且大部分图象不规则，一般都会放在选择题的倒数三题里，难度自然就有所提高，倘若能把这两层次题都弄懂，我相信考试应该会很少在导数的几何意义上碰壁了.

第一层次：活学导数的几何意义研究函数图象的切线方程

导数反映了函数的变化率，从图形上来看，表现为切线的斜率，如：导数f′（x0）表示曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率.如果导数为负，则切线的斜率为负，切线呈现为下降趋势，曲线在该点附近也是下降趋势，函数单调减.如果导数为正，函数单调增.而求切线方程可以分两步：第一步求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率；第二步根据直线方程的点斜式写出切线方程即y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）.

【例1】原题（选修2-2第二十九页练习第一题）改编如图是导函数y=f′（x）的图象，那么函数f（x）在下面哪个区间是减函数（）

A.（x1，x3）B.（x2，x4）C.（x4，x6）D.（x5，x6）

【解析】函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间，故选B.

第二层次：巧用导数的几何意义研究函数图象的变化趋势

利用导数的几何意义研究函数图象的变化趋势，是对导数几何意义运用的进一步加深，这一层次题出现在高考中不是要求考生花大量笔墨去算，而是要理解函数值的增加或减小快慢情况对切线斜率的影响，倘若计算运算量将会很大.这一层面题目一般选项都会出现图象，你可以计算出精确值，也可以通过考虑图象的性质，对选项进行筛选估计等即可得出答案，具体见例题：

【例2】（2013年江西高考理科）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线，l1，l2之间l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点，设弧FG的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）

【解析】本题考查函数的图象，扇形弧长，三角函数，以及数形结合的数学思想.当x逐渐增大时，y也逐渐增大，故y随x的增大而增大.故先排除B项.

【解法2】直接观察发现x量逐渐减少，而y增量没有改变，其实也就相当于告诉我们当x增量一直保持不变时，y增量会逐渐增大，因此图象看上去会越来越陡，故选择D.

·编辑鲁翠红