浅析高中数学中四种证明方法的异同

2016-09-07高燕燕山西省吕梁市离石区江阴高级中学

新课程(中学) 2016年4期

高燕燕（山西省吕梁市离石区江阴高级中学）

浅析高中数学中四种证明方法的异同

高燕燕
（山西省吕梁市离石区江阴高级中学）

在证明一个命题成立时，可以证明原命题成立，可以证明它的逆否命题成立，也可以通过证明命题的否定为假来证明原命题为真。当从正面证明一个命题不太容易时，往往用反证法来证明，通过推出矛盾证明假设不成立来证明原命题成立。独立性检验原理也提供了一种证明两个变量有关的方法，这些证明方法有相同之处，也有细微的不同，通过原理与实例相结合来展示逆否命题证法与命题的否定证法、反证法与命题的否定证法和逆否命题证法、独立性检验原理和反证法原理之间的异同。

原命题；命题的否定；逆否命题；反证法；独立性检验原理

在选修1-1第一章的命题及其关系这一节中我们学习了四种命题及其它们之间的关系，通过研究我们得知，原命题和逆否命题具有相同的真假性，当原命题的证明比较困难时，我们往往选择通过证明原命题的逆否命题成立来证明原命题的成立。在本章的第三节中我们可以得到，命题和命题的否定具有相反的真假性，当证明原命题比较困难时，我们也可以通过证明原命题的否定为假来证明原名题的成立。在选修1-2第二章的直接证明和间接证明这一节我们又学了一种证明方法——反证法。在本书第一章的独立性检验的基本思想及其初步应用这一节中证明两个变量有关的独立性检验原理又是另一种证明的方法。这四种证明方法之间有联系也有区别，极容易混淆，下面通过具体的例子来说明它们之间的差异。

一、逆否命题证法与命题的否定证法

原命题：若p则q（p为条件q为结论）

逆否命题：若┐q则┐p

命题的否定：若p则┐q

1.逆否命题证法

证明若p则q为真，等价于证明若┐q则┐p，而在证明若┐q则┐p为真就是要证明┐q⇒┐p，条件是┐q，要证明的结论是┐p。

例.证明：已知函数f（x）在（-∞，+∞）在上是增函数，a，b∈R，若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），则a+b＜0

证明：逆否命题：已知函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，a，b∈R，若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）。

∵一个命题和它的逆否命题是等价的

∴可证明逆否命题为真命题

∵a+b≥0，∴a≥b，b≥-a

又∵f（x）是（-∞，+∞）上的增函数

∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）

∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）

2.命题的否定证法

证明若p则q为真，等价于证明若p则┐q为假。这种证明命题真假的方法常用于全称命题和特称命题的证明。

例.证明命题p：对任意实数a，b，|a-1|+|b-1|＞0是假命题

证明：∵命题和命题的否定具有相反的真假性

∴只需证明┐p：存在实数a，b，使得| a-1|+|b-1|≤0

当a=b=1时，┐p成立，即┐p是真命题，所以p是假命题

命题的否定和否命题是两个完全不同的概念，并且原命题和否命题的真假性是没有关系的，故不可以用否命题的真假性来判断原命题的真假性。

异同点：都把原命题的结论进行了否定，但否定后一个作为条件，另一个作为待证的结论。

二、反证法与命题的否定证法和逆否命题证法

一般的，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

用反证法证明数学命题的步骤：

（1）反设——假设命题的结论不成立，即假定结论的反面成立；

（2）归谬——从“反设”和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；

（3）结论——因为推理正确，由矛盾结果断定“反设”不真，从而肯定原结论成立。

故假设不成立，所以原命题成立

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异同点：反证法的实质与命题的否定证法的实质一样，都是证明命题的否定为假，从而得到原命题为真。不同之处在于反证法在证明的过程中，反设的结论和已知条件一起作为已知条件，导出与假设、公理、定理、定义或已被证明的结论矛盾，从而证明假设不成立，而命题的否定证法在对结论进行否定后，否定的结论仍然是待证的结论。反证法和证逆否命题是完全不同的。