“悟”，数学学习的灵魂——学习共同体下《同角三角函数的基本关系》课例分析

范晓绚（广州市岭南画派纪念中学）

“悟”，数学学习的灵魂
——学习共同体下《同角三角函数的基本关系》课例分析

范晓绚
（广州市岭南画派纪念中学）

在学习共同体的学习理论下，通过对《同角三角函数的基本关系》的课例分析，以期阐明提高数学课堂绩效的关键就是让学生充分地“悟”。

学习共同体；悟；课例分析

一、场景呈现

高一数学（人教版必修4）的一节公开课《同角三角函数的基本关系》：

教室内鸦雀无声，大家都埋头苦干，老师巡视课堂……

两分钟过去了，学生没有思路。

老师：请大家想想tanθ与sinθ、cosθ之间有哪个关系式？

学生明白了，在老师的指导下把解题过程记录下来。

二、追因诊断

一周之后测验这道题，答对率竟然不及50%。为何答对率会如此低呢？传统课堂非常重视“讲”这一环节，认为只要清楚地把知识点传授出去了，学生就一定能学会。学习共同体的学习理论认为，知识传递只解决了知识的发送端问题，而对学习效果起决定性作用的还有学生的接收端以及学生自身知识系统的融合和转化，通俗一点就是学生的“悟”。怎样才能导出学生的“悟”？学生“悟”得够不够深刻，直接决定着数学学习质量的高低。

于是，在学习共同体的数学课堂中，教师的职能不是“讲”，而是“导”，并且是能引起学生有意义“悟”的“导”。这个“导”既要疏导学生原有的思维障碍，又要为开辟新的思维领域铺路搭桥。现代认知心理学研究表明，思维发展是连续的、相互重叠的，学生在学习进程中经常要回到低水平思维中去，依靠具体经验获得对新知识的相应水平的理解。因此，教师的“导”就是要利用学生已有的知识水平，为学生提供适当的实物、图、表等，让学生有充足的时间对具体事物进行操作，使他们获得学习新知识所需要的具体经验。

三、改进策略

基于学习共同体的学习理论，解决上述场景困境的方法就是要放手让学生去独立实践和思考，给学生提供分析和概括具体例证的机会和时间，让学生在学习团队的互动讨论中“悟”出对这个知识点（或解法）的理解。

首先，让学生在学习团队中充分讨论式子的结构，对学过的相关公式进行回忆。这样的“导”就使得每个学习团队都能动起来。当发现学生都没有思路时，教师的提示语要导向学生对解题方法的自然生成。

于是，第一种解题方法（利用平方关系式和商数关系式）就产生了。

班里一定还有一些学生对三角函数的定义掌握得较好，于是，第二种解法（利用定义法）也出来了。

如果教师漠视这些不同思想方法的碰撞，不设法让这些思想方法展现和引导，那么不但会失去一次极好的思想方法教育的机会，还会使教学变得呆板、机械，降低课堂教学质量。

这时，还可以引导：能不能利用tanθ=2找到sinθ与cosθ的倍数关系呢？有些学生的思想可能就会被激活了。第三种解法由tanθ=2，得到sinθ=2cosθ并将其代入原式即可。

能提出这个解法的学生应该得到同学们的掌声，这种鼓励将是学习上无穷的动力。

此刻，教师只要再稍稍加一把火，就能点燃整个课堂。

这就是学生解题方法的自然生成，中间不夹杂教师的任何强迫成分。学生通过自己的亲身实践，在解题过程中可以观察到各三角函数之间是可以相互表示的，而且在求解过程中也会产生如何进行相互表示的具体体验。另外，通过对各种解题方法的比较，他们也会认识到，如果有了角θ的各三角函数之间关系的一般表达式，那么像“求值”之类的问题就会变得非常容易，这些都会使“基本关系式”的运用更加灵活自如。学习共同体的课堂中，教师重在发现学生思维的闪光点并加以鼓励，重在关键处加以引“导”，并使这样的“导”能促成学生有质量的“悟”。

注：本论文是广东省教育科学“十二五”规划教育科研项目《学习共同体下高中教师课堂管理行为的实践研究》（2012YQJK055）成果之一。

·编辑张珍珍