如何快速解答抽象函数对称性与周期性的问题

黄忠源

（福建省泉州实验中学）

如何快速解答抽象函数对称性与周期性的问题

黄忠源

（福建省泉州实验中学）

高考对抽象函数的考查中经常结合对称性与周期性一同考查，下面我们看看函数的对称性与周期性究竟有什么样的关系？

若函数f（x）的图象关于直线x=a对称，也关于直线x=b对称，则f（x）是以T=2|a-b|为周期的周期函数.

证明：因为f（x）的图象关于直线x=a对称，所以有f（a+x）= f（a-x）即f（2a+x）=f（-x），同理f（2a+x）=f（-x）。所以有f（2b+x）= f（2a+x），即有f（x）=f（x+2a-2b）.

所以，函数f（x）是以T=2|a-b|为周期的周期函数.

定理1：一般的我们有，若函数f（x）满足对于任意的实数x都有f（a+x）=f（a-x）和f（b+x）=f（b-x）都成立（其中a≠b），即函数f（x）的图象关于两条直线x=a和x=b都对称，则f（x）是周期函数，且周期是T=2|b-a|.

同样的思路我们也可以得出：

定理2：若函数f（x）的图象关于直线x=a对称，关于点（m，0）（其中a≠m）中心对称，那么函数f（x）是周期函数，且周期是T= 4|a-m|.

证明：因为f（x）关于直线x=a对称，所以有f（a+x）=f（a-x），即有：f（x）=f（2a-x）

又f（x）关于点（m，0）对称，所以有式子f（m+x）=-f（m-x）成立，即有：f（x）=-f（2m-x）

由上述两个式子得到：f（2a-x）=-f（2m-x），即有：f（x）= -f（x+2a-2m）

令x为x+2a-2m，所以又得到f（x+2a-2m）=-f（x+4a-4m）

所以有：f（x）=-f（x+4a-4m）

所以f（x）是周期函数，且周期是T=4|a-m|.

推论：若f（x）函数的图象关于直线x=a（a≠0）和原点O对称，则函数f（x）是周期函数，且周期为T=4|a|.

定理3：若函数f（x）的图象关于点（n，0），关于点（m，0）（其中n≠m）中心对称，那么函数f（x）是周期函数，且周期是T=2|n-m|.

证明：由f（x）的图象关于点（n，0）对称，得到f（n-x）=-f（n+x），

即：f（x）=-f（2n-x）

同理可得：f（x）=-f（2m-x）

所以有f（2n-x）=-f（2m-x），即：f（x）=f（x+2n-2m）

所以f（x）是周期函数，且周期是T=2|n-m|.

经过上面的分析我们知道，一个函数只要关于两条直线，或者两个点，或者一条直线一个点对称，那么这个函数一定是周期函数，熟悉地理解上述3个定理有助于我们快速解答高考题.

下面举两道高考题来看看上述定理的应用.

例题1.（2009全国卷Ⅰ理）函数f（x）的定义域为R，若f（x+ 1）与f（x-1）都是奇函数，则（）

A.f（x）是偶函数B.f（x）是奇函数

C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函数

解：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，∴f（x）函数关于点（1，0）及点（-1，0）对称，根据定理3，函数f（x）是周期T=2［1-（-1）］=4函数，所以有f（x-1）=f（x+3）即f（x+3）是奇函数，故选D.

例题2.（2009山东卷理）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间［0，2］上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间［-8，8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+ x4=____.

解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x-4）=-f（x），所以f（x-4）=-f（x），所以，函数图象关于直线x=2对称，根据定理2函数f（x）是以8为周期的周期函数，且f（0）=0，又因为f（x）在区间［0，2］上是增函数，所以f（x）在区间［-2，0］上也是增函数.如图所示，那么方程f（x）=m（m＞0）在区间［-8，8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4由对称性知x1+x2=-12，x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

答案：-8.

·编辑鲁翠红