从核心素养角度思考立体几何的教与学

浙江省春晖中学

林国夫　　(邮编：312353)



聚焦新课程

从核心素养角度思考立体几何的教与学

浙江省春晖中学

林国夫(邮编：312353)

众所周知，培养学生的空间直观感知能力、提高正确判断空间几何体的空间位置是立体几何教学最重要的任务之一.然而，随着课改的深入和教学内容的不断调整，学生的空间感知能力出现了逐渐降低的趋势，这对我们顺利开展立体几何教学产生了不小的阻力.特别是在高三复习阶段，学生越来越感到：依靠自身的空间想象能力来解决空间问题着实有点力不从心.那么如何来帮助学生有效提高解决空间问题能力呢？笔者对此进行了积极的探索.纵观整个高中数学课程，我们教学的最终目的在于培养学生的数学核心素养(数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数学分析等)，立体几何教学作为高中数学课程的一部分，也理应围绕这个目标.基于此，笔者希望以核心素养作为指导纲领，来重新整合自己的教学，从而来突破立体几何教学的瓶颈.为此，笔者在教学实践中进行了积极的探索，本文拟就此来谈谈自己的教学心得，供同行参考.

1　架构高效推理论证思维图式

尽管在空间问题的求解过程中，我们脱离不了直观想象，但是直观想象毕竟具有主观臆断之嫌.要检验凭直观所得的空间结论是否正确，则需要进行科学的论证，这就少不了推理论证.推理论证是弥补直观思维漏洞的过程，更是让学生从感性走向理性的重要一环.因此，理性的推理论证可以让学生更能清晰地把握空间几何体的空间位置，是学生建立科学空间观必不可少的思维历程.因此，在教学中，我们要帮助学生架构科学判断空间位置的一整套推理论证的思维图式.所谓思维图式，即主体在遇到同属性的问题时能及时作出相应思维的过程.在立体几何模块中具有非常多的思维图式，例如空间线线角、线面角、二面角的求作；空间平行位置关系的判断；空间垂直位置的判断等等.对于这些问题，我们要让学生建立正确而顺畅的思维链，即一遇到什么问题，我们要顺利地作出与问题相匹配的完整思维和动作，直至解决问题.例如：

问题1如图1，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是线段CC1、BD上的点，R是直线AD上的点，满足PQ//平面ABC1D1，PQ⊥RQ，求|PR|的最小值.

2　强化问题解决的数学模型

数学问题的解决需要有合理的数学模型进行支撑，好的数学模型可以为我们思考问题提供良好的思维空间.但是数学模型的顺利建立需要主体积累丰富的经验，通过经验的直观判断与引导，从问题情境中抽象出相应的数学问题并建立合理的模型，再通过数学手段分析模型.因此，个体的认知结构和解决问题的经验严重影响数学模型的建立，而经验的获得则需要进行实践与深刻的自我体验.因此，在立体几何的教学中，我们要合理创设典型的问题情景与建立相关的模型，通过引导来帮助学生体验建立模型的思维历程，积累相关经验.例如：在解决空间折线长的最值中，可以利用几何体的面的展开图将问题转化为平面内定点间的距离；在涉及空间三条垂线的几何问题中，可以考虑将几何体内置于长方体或正方体中；涉及空间角度问题时，可以通过建立向量模型，借助空间向量运算来解决问题等等.在教学中，我们既要注重对模型的建立过程，也要关注模型与问题情景的匹配，以便在具体的问题情景中能迅速锁定相应的模型，形成解决问题的策略.例如：

上述问题的求解关键在于建立合理的空间坐标系来确定点D′的坐标，并通过向量手段来解决空间角度问题，解决问题的方式具有非常广泛的适应性，相比于用传统的直观想象方法要显得简洁易懂且容易掌握，可以作为一种典型的模型进行教学.

分析考虑到问题涉及三条垂线，因此我们想到长方体模型，长方体的对角线为平面α的垂线.设直线l为平面α的垂线，直线l与AB、AC、AD所成角分别为α1、α2、α3，则我们可以构建以l为对角线，以AB、AC、AD为邻边的长方体，如图5.

在问题3中，我们抓住三线两两垂直的特征来联想长方体模型，由此迅速找到解决问题的方法.此例也说明了模型在问题求解中具有举足轻重的作用.另外，从问题的求解过程中，我们也能明白，通过问题特征来联想模型是培养学生建立模型解决问题的重要途径.

3　理解和抽象问题的本质

问题的解决作为检测知识掌握与否的手段，但不是目的.在问题的求解过程中，若要挖掘问题隐藏的价值，则需要我们对问题的背景和本质具有一定的洞察力，以便我们更好地理解问题，从而实现触类旁通的效果.因此，除却问题表象、揭示问题本质应该作为我们立体教学努力达到的目标，尽自己的力量来帮助学生脱离题海.例如：

问题4如图6，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点A在平面α内，点E是底面ABCD的中心.

若C1E⊥α，求△C1AB在平面α内的射影的面积.

问题4的本质即为二面角求解的投影法，理解这点有助于更好地解释与投影面积相关的问题，这是揭示此类问题本质的关键点.它不仅为我们解决问题提供了有效的方法，也为我们洞察问题的设计思路提供思维源泉.再如下列的问题： 如图7，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD的对角线BD在平面α内.则当正方体绕着BD旋转的过程中，求正方体在平面α内的射影构成的图形Γ的面积S的取值范围.

分析如图7，设点C、B1、D1、A在平面α的射影分别为C′、B′、D′、A′，从而正方体在平面α内的射影构成的图形Γ即为多边形A′B′BC′DD′，其可看成是ABCD和矩形BDD1B1在平面α内的射影.若设平面ABCD与平面α构成的二面角为θ(考虑对称性，不妨设)，则平面BDD1B1与平面α构成的二面角为，从而(其中，故当，即时，S有最大值；当θ=0时，S有最小值a2.故正方体在平面α内的射影构成的图形Γ的面积S的取值范围为].

4　增强向量工具的辅助意识

尽管我们在立体几何的教学中始终强调培养学生的空间立体感知能力，然而口头上的强调无法改变学生空间感缺失的事实.为了克服这点，我们不得不将空间向量作为法宝，以此作为拯救学生的最后一道防线.但是，这里我们不得不提醒的是，我们注重利用空间向量来解决空间问题不代表我们可以脱离空间想象力.事实上，培养学生的空间想象力有时也需要利用空间向量.这两者是相辅相成的，过度地依赖向量或过度地强调空间想象都是不恰当的.我们需要充分发挥两者的优势，取长补短，从而更好地提高解决问题的效率.例如

问题5如图8，棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为300，求顶点C1到平面α的距离d的最大值.

在问题5的求解过程中，表面上看我们没有使用空间向量，但是我们的求解却无不在利用空间向量求解空间角的基本方式，利用向量角度将直线AC1与平面α的垂线l的夹角进行了等价转化.如此以来，我们可在一定程度上摆脱难于想象的困境，实现问题的常态化求解.从中我们也不难看到，利用空间向量来辅助我们的空间想象对高效解决空间问题是大有裨益的.上述题目对于空间想象力好的学生而言也许还不算困难，但是对下面的问题，通过直观想象来求解也许会非常困难，但是利用空间向量来辅助我们想象则会容易得多，其基本思想与问题5如出一辙.

分析设直线l为平面α的垂线，设AC1与垂线l所成角为θ，则AP=AC1sinθ=2sinθ，下面我们利用空间向量解决空间角的基本思维模式来求解α的取值范围.

从问题5和问题6的求解过程中，能深刻体会到空间向量的辅助，能保证我们在空间想象相对困难时，可以科学地分析空间位置，从理性的角度来增强我们的空间想象能力.

总之，立体几何教学的根本目的在于培养学生的数学核心素养，其中关键在于提高学生的空间想象力，增强空间感知能力.为了实现这个目标，我们需要在直观想象的基础上培养学生的理性推理论证能力，借助理性思维来提高对空间量的感知力，并用科学的眼光分析空间问题.要帮助学生丰富和积累解决空间问题的典型模型和经验，通过线面位置关系的等价转化来抽象数学问题，提高解决问题的效率.在教学中要帮助学生理解问题，尽力揭示问题的本源，以便从根本上领悟问题的本质，达到知一通百的效果.在空间想象能力一时无法发挥作用时，要引导学生通过空间向量的辅助功能来增强想象力，充分发挥直观想象和空间向量各自的优势，以此来科学而有效地分析空间几何体的数量关系.不可否认的是，立体几何的教学是高中数学教学中的难点中的难点，仅仅依靠我们纸上谈兵式地探讨无助于对教学难点的突破.因此，我们需要在教学实践中不断探索和实践，在实践中来改进我们的教学方式和策略，以便真正提高立体几何的教学效率.

2016-05-26)