误读教材成“规范”　实际应用无定则

2016-09-06华中科技大学附属中学

中学数学教学 2016年4期

关键词：花店玫瑰花方差

华中科技大学附属中学

马　俊　　李青林　　(邮编：430074)

误读教材成“规范”实际应用无定则

华中科技大学附属中学

马俊李青林(邮编：430074)

在湖北省高考数学回归全国卷的趋势下，对全国卷的研究是必不可少的，而学生在面对全国卷的一道应用题时出现了争议，题目如下：

题目某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式.

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n14151617181920频数10201616151310

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

(i)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列，数学期望及方差；

(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

对于(ii)中问题，参考答案是计算出花店一天购进16枝玫瑰花当天的利润期望E(x1)=76，而购进17枝玫瑰花当天的利润期望E(x2)=76.4，由于E(x2)>E(x1)，所以应购进17枝玫瑰花，通过比较两种情况当天的利润期望，利润期望越高越好.

但有学生同时还比较了两种情况的方差，在计算了购进16枝玫瑰花当天的利润方差为D(x1)=44，而购进17枝玫瑰花当天的利润方差D(x2)=112.04.学生提出了自己的想法，购进16枝更好，因为在两种情况下期望几乎没有区别，而D(x1)比D(x2)要小很多，说明获得利润更加稳定.

笔者认为这两种说法都是具有各自道理的，每个人所站的角度不一样,所以选择的方案显然是有区别的.此外笔者在不少的教辅资料和试卷中发现了这类问题的一个“规范”解答流程：先比较期望，如果期望不同就能得出结果；如果期望相同再进一步比较方差得出结果.若是生活中的问题，运用数学能够如此“规范”地得出方案，想必决策这类的事情交给电脑便是再好不过了.而这种“规范”的模式是否有源可寻呢，笔者选择回归课本探求本源.

1　误读教材成“规范”

1.1比较期望型

教材中有道例题如下：根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一个大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元，为保护设备，有以下3种方案；

方案1运走设备，帮运费为3800元.

方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水.

方案3不采取措施.

试比较哪一种方案好.

解用X1，X2，X3分别表示方案1，2，3的损失.

E(X1)=3800，E(X2)=2600，E(X3)=3100.

采取方案2的平均损失最小，因此可以选择方案2.

值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出来的.一般地，我们可以这样来理解“平均损失”；如果问题中的气象情况多次发生，采用方案2将会使损失减小到最小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，因此对于个别的一次决策，采用方案也不一定是最好的.

以上是教材上通过比较期望后对这个问题作出的解答，此时计算出来的期望不相同，从而直接通过期望的比较来选择了方案，并没有对方差进行运算.但是最后一段话却值得我们思考，通过统计出来的结果建立数学模型对未来进行预测，得出的结果仅仅只是一个参考，而方案的确定仍然需要结合实际情况.

1.2期望相同比较方差型

教材中还有一道有关选手选拔类型的例题，如下：要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为

X15678910P0.030.090.200.310.270.10

第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为

X256789P0.010.050.200.410.33

解E(X1)=8，E(X2)=8，D(X1)=1.50，D(X2)=0.82.

因此，第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.

思考如果其他班级参加选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参加，如果其他班级参加选手的射击成绩都在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？

以上是教材对于这道例题的解答，在期望相同的情况下，计算了方差，并通过比较方差说明了两位同学的稳定性，但是教材中并没有由此得出哪位同学成绩更好，更适合参加比赛.而是提出了一个思考——在不同层次的比赛中对选手的选择.如果在参加选手的射击成绩都在9环左右的情况下，此时就有了是追求选手稳定性还是追求高分的一个博弈了，此时选择第一名同学更易出高分，得到名次的可能性更大；而在参加选手的射击成绩都在7环左右时，选择第二名同学稳定性更高，更不容易失误.这些选择在体育竞技中是非常常见，根据场上的情况调整运动员的完成难度和运动员的上场时间等.

教材中还有道有关就业选择的例题：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P0.40.30.20.1

乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P0.40.30.20.1

解E(X1)=1400，E(X2)=1400，D(X1)=4000，D(X2)=160000.

因为,E(X1)=E(X2)，D(X1)

以上同样是教材对这道例题的解答，同样在期望相同的情况下比较了方差，但是同样没有说明选择哪个单位更好？而是站在求职者对于工作的期望的角度给出了不同的建议.

分析教材中的三个例子，似乎验证了“规范”的解答：期望不同时，分析比较期望即可，不研究方差；只有在期望相同时，再进一步比较方差.但是细细体会不难发现，期望和方差所代表的含义是不相同的，是通过两种不同的角度来衡量一组数据.其次，期望和方差两者之间也没有必然联系，因此，所谓的“规范”解答显然十分牵强.通过对教材的分析，不难体会到教材的例题设置是为了逐步加深学生对期望和方差概念的理解，以及在实际应用中通过期望和方差对相关数学模型进行解读，并且主张在实际中多角度来思考问题.可是不少教辅资料误将课本中例题解答的“巧合”视作了“规范”——先比较期望，期望相同时方差小的优先，却忽视了教材中对每个模型的分析.我们要知道实际中问题解决的主体是人，而每个人的特异性决定了一件事完成的最优解是相对的.因此，在面对数学模型所计算出的结果时，要知道数据是死的，而人是活的，数学的应用永远不能脱离实际而强调所谓的“规范”.

2　实际应用无定则

下面有个例题能让我们对此有一个更深的理解，这是一道取自香港数学教科书中的一道例题，名字叫做“公说公有理，婆说婆有理”，这道例题在当时教育界产生了非凡的影响.无论是教师还是教育家，都不知道如何完美地回答这个问题.下面是这个例题的详细信息.

题目某企业有5个股东，100名工人，年底公布经营业绩，如表1所示：

表1

图1是老板所画，“有福同享有难同当，股东和工人收入平行增长”.图2是工会主席所画，“股东股红翻了一番，工人工资只增加了50%”.图3是一工人所画，“股东股红从1万美元增至2万美元，工人工资从1000美元增至1500美元，工资太低了”.同样的统计结果，通过不同的图象给我们展示了在不同视角下对于同一数据的解读是不同的.在实际生活中我们经常能见到这类情况，相同的事件却有多种观点，正如“一千个读者，就有一千个哈姆雷特”，其中并没有所谓的对错之分.

数学源于生活，而数学的价值更是在于回归生活.数学作为一门应用性极强的学科，其产生与发展都是与解决问题密不可分的，但是在实际教学中往往将应用问题也变得教条化了.这与我国教学历史是有息息相关的联系的，我国传统的基础教育中的数学课程是前苏联的单一的“逻辑演绎推理”形式的教学课程，课程体系的逻辑性、系统性和严谨性成了课程设置和教材编排的首要原则，如今，这种现象仍然存在，导致了学生偏

离实际情景而单纯地从逻辑思维出发解决问题.

数学是用来解决实际问题的，其实数学问题就产生于生活中.陶行知先生曾说过：“教育可以是书本的，与生活隔绝的，其力量极小.拿全部生活去做教育对象，然后教育的力量才能伟大”.数学课程改革的纲领性文件《数学课程标准》中，明确提出学生所学的数学必须是“有价值的”“必需的”，而且通过数学学习过程，“使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展”.数学教育家汉斯·弗莱登尔主张“数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，教学过程应该是帮助学生把现实问题转化为数学问题的过程，而不是拿着数学过程去按部就班的解决实际问题.因此在解决实际问题更应注重其实际意义，若是纠结于所谓的“规范”而限制了思维，难免会变成舍本逐末.