从法向量看二元一次式值的变化

安徽省蚌埠市固镇县第一中学

马开庆　　(邮编：611731)



从法向量看二元一次式值的变化

安徽省蚌埠市固镇县第一中学

马开庆(邮编：611731)

从几何的角度，得出从法向量方向看二元一次式Ax+By+C的值的变化规律,沿着系数法向量n=(A,B)方向取值(x,y)，二元一次式的值增大，反向则减小.

二元一次式;法向量;区域

1　理论探讨

二元一次方程Ax+By+C=0，其中A，B，C为常数，且A，B不同时为零.在平面直角坐标系中表示一条直线，记作l，称为直线的一般方程.非零向量n=(A,B)垂直于直线，称为直线l的法向量，这里我们也称n为二元一次式Ax+By+C的系数法向量.这里我们给出以下事实，当l沿着系数法向量移动时，二元一次式Ax+By+C的值增大，反方向移动时其值变小.

下面给出说明.首先探求点与直线的位置关系：点在直线上与点在直线外.点在直线上点的坐标满足方程，下面探求点在直线外的情形. 事实上，不妨设系数B>0，如图，

代入坐标得

(x0-x1,y0-y1)·(A,B)=λ(A,B)·(A,B),

A(x0-x1)+B(y0-y1)=λ·(A2+B2),

Ax0+By0-(Ax1+By1)=λ·(A2+B2).利用点M1(x1,y1)在直线l上，即Ax1+By1+C=0，有Ax1+By1=-C代入上式，得

Ax0+By0+C=λ·(A2+B2).

因为A，B不同时为零，所以A2+B2为正常数.由上式知直线l同侧的点的坐标代入二元一次式Ax+By+C的符号相同，直线l把直角坐标系不在直线l上的点分成了两部分,即与系数法向量(A,B)箭头所指向区域内的点的坐标满足Ax+By+C>0，而指向相反的区域内的点的坐标满足Ax+By+C<0，而且当直线l:Ax+By+c=0沿着系数法向量方向平移时，Ax+By+C值单调增大，反方向移动时，Ax+By+C值单调减小.

2　理论应用

下面我们来看看上面结论在线性规划中的应用.

应用1判定直线一侧的区域，例如，x+y-1=0，应用上面结论很容易判定,在系数法向量n=(1,1)箭头指向的区域即直线的右上方区域内的点的坐标满足x+y-1>0，且当直线沿法向量n=(1,1)移动时，x+y-1的值变大，反方向移动时，x+y-1值减小.

注上述方法比从直线在y轴上的截距角度分析更直接.

上述方法是在教学中的感悟，在解决某些二元线性目标函数问题时，有时能够更直接地去判断.某些想法可能不太成熟，写出来与大家一起探讨.

1编写组.高中数学(必修5).北京：北京师范大学出版社.2015

2吕林根，许子道等.解析几何.第三版.北京：高等教育出版社，1987:72

2016-04-06)