一道2015年安徽高考题的背景分析与深入探究

安徽省合肥市第六中学

黄海波　　(邮编：230001)



一道2015年安徽高考题的背景分析与深入探究

安徽省合肥市第六中学

黄海波(邮编：230001)

2015年安徽高考理科填空压轴题第15题是：

设x3+ax+b=0，其中a、b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是______(写出所有正确条件的编号)．

①a=-3,b=-3；②a=-3,b=2；③a=-3,b>2；④a=0,b=2；⑤a=1,b=2．

该题以实系数的三次方程为依托，考查利用导数研究(三次)函数性质的一般方法，考查数形结合和分类讨论的数学思想，背景看似平凡但却蕴含深意，有其丰富的高等数学背景，下文将具体阐述．

本文首先给出该题的解答，并由解答出发，讨论一般情形下的三次函数零点个数的判别准则以及三次函数零点的分布特征．

1　试题的解答

记f(x)=x3+ax+b，问题转化为函数f(x)的零点个数，考虑f′(x)=3x2+a．

(i)当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，于是，函数f(x)在R上单调增，故函数f(x)恰有一个零点，于是，条件④、⑤均满足题意．

2　实系数三次函数零点个数的判别准则

一般地，记f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0)，则f′(x)=3ax2+2bx+c，其判别式△=4(b2-3ac)，当△≤0时，函数f(x)在R上单调；当△ >0时，函数f(x)有两个极值点x1、x2(x1

我们有如下的：

证明当△≤0时，函数f(x)在R上单调，函数在R上恰有一个零点；当△ >0时，分别如图1(a>0)，图2(a<0)所示，应有两个极值同号，f(x1)f(x2)>0.反之亦然，证毕．

证明当△ >0时，函数f(x)的极值f(x1)≠f(x2)，当其中一个为零时，函数f(x)有两个零点，即f(x1)f(x2)=0，分别如图3(a>0)，图4(a<0)所示．反之亦然，证毕．

证明当△ >0时，若函数f(x)的两个极值f(x1)、f(x2)异号，即f(x1)f(x2)<0，分别如图5(a>0)，图6(a<0)所示．反之亦然，证毕．

3　试题的背景及实系数三次函数零点的分布特征

注意到我们目的是讨论三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0)的零点，所以函数解析式可以简化成f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d∈R)．

我们先给出下面的引理：

至此，我们看到，考题给出的三次方程x3+ax+b=0貌似不具备三次方程的一般形式．事实上，却涵盖了一般情形．从这里能看到命题人的良苦用心．

另一方面，由引理，我们也可以将所有三次函数的零点分布问题简化成研究函数g(x)=x3+mx+n(m,n∈R)的零点分布．

g′(x)=3x2+m．

① 当m≥0时，g′(x)≥0恒成立，于是，函数g(x)在R上单调增，故函数g(x)恰有一个零点．结合函数图象容易看到：

(i)当n>0时，函数g(x)的唯一零点为负实数；

(ii)当n=0时，函数g(x)的唯一零点为0；

(iii)当n<0时，函数g(x)的唯一零点为正实数；

结合图象，如图7所示，我们对极大值W和极小值w分类讨论如下：

(i)当n>0时，

若w<0，函数g(x)恰有一个负零点和两个正零点；

若w=0，函数g(x)恰有一个负零点和一个正零点；

若w>0，函数g(x)恰有一个负零点．

同理，我们有如下结论：

(ii)当n=0时，函数g(x)的一个零点为零，还有一个负零点和一个正零点．

(iii)当n<0时，

若W<0，函数g(x)恰有一个正零点；

若W=0，函数g(x)恰有一个负零点和一个正零点；

若W>0，函数g(x)恰有两个负零点和一个正零点．

这样，我们完整地解决了一个三次函数的零点个数的判别及零点的分布问题．

1华东师范大学数学系．数学分析(上)(第四版).北京:高等教育出版社，2010

2016-02-06)