研磨教学设计光大课堂生成——“充分条件与必要条件”的教学实践与反思

安徽省和县第二中学

傅香平　　(邮编：238200)安徽省和县第三中学　　范世祥　　(邮编：238200)



教学参考

研磨教学设计光大课堂生成

——“充分条件与必要条件”的教学实践与反思

安徽省和县第二中学

傅香平(邮编：238200)安徽省和县第三中学范世祥(邮编：238200)

新课改以来，概念教学的重要性日益提高，但一提到概念教学，很多教师就觉得难教，往往就走走过场，“给出定义，解释说明，几点注意，大量练习”.李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”概念是数学思想方法的发源地，数学教学应该确立概念教学的核心地位，概念教学需要让学生经历如下环节：概念的引入—概念的形成—概念的明确—概念的表示—概念的巩固与应用.笔者据此理念设计本课例如下.

1　内容解读与目标指向

本节课是人教A版数学选修2-1第一章“常用逻辑用语”第二节第一课时的内容，属于概念课．通过实例，讲述充分条件、必要条件的有关概念，它们是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一.

本节课的内容属于“常用逻辑用语”系列概念之一，让学生体会使用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性.在本节内容前，教材安排了“命题及其关系”作为必要的知识铺垫.本节课是第一课时，集中精力突破充分条件和必要条件这两个概念，以及如何通过集合思想方法来判断，因为解决了这两个重要的概念，就可以比较容易理解后面的充要条件的概念，故本节课不涉及充要条件和既不充分也不必要条件，这也是教材设计者的用意之一.

根据教学内容解析和学生学情分析制定本节课的教学目标及重点、难点如下.本节课的教学目标是让学生初步理解充分条件、必要条件的概念，掌握几种基本类型的判定方法，熟练利用“⟹”解决具体问题；从实例探究中感知概念；从原命题及逆否命题的对比分析中形成概念；从发散练习题的构造中理解概念；从集合的角度深化概念；提高数学语言的运用能力和逻辑推断能力；在对命题的条件与结论间逻辑关系的探究中培养学生思维的严谨性，感受“在生活中数学地思维”，增加对学习逻辑知识的兴趣和信心，提升阅读理解能力、逻辑推理能力和归纳总结的能力.教学重点为充分条件、必要条件概念的理解和判断.教学难点为充分条件、必要条件概念的生成，特别是对必要条件概念的理解.

2　设计理念与教学策略

针对上述情况，在课堂教学中强调学生的自主探究，强调数学知识的形成过程，思想方法的渗透与应用，以达到加深学生对知识本质的理解.先从实际问题引出概念，再详细讨论概念，引导学生发现概念中的关键词，最后应用概念解决问题.为了突破此难点，先引导学生分清什么是充分条件和必要条件，立足点放在概念上，同时注意一些常见命题的正确性判断.

由于这节课概念性、理论性较强，内容相对比较抽象，学生较难理解和掌握，一般的教学方式容易使学生感到枯燥乏味.为此，采用探究式教学法，通过师生互动来实现本节课的教学目标.对学生的要求，不可追求一步到位，要有一个随着学习的深入，逐步提高、完善的过程.由于这是充分条件与必要条件的概念课，文字信息量较普通的数学课要大得多，因此用软件自制课件，以简化教师板书工作，增加课堂教学的信息容量，保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益.

3　教学环节与设计意图

3.1创设情境，问题导入

前不久新闻媒体有几则类似于“我爸是我爸”的新闻报道，其实，有关部门要求出示相关的证明材料那也是“必须的”，而公安部门却说，做下DNA亲子鉴定不就充分保证了嘛！今天这节课，我们来共同学习“充分条件与必要条件”.

今天的课，首先我们从一个具体问题开始说起：

问题1“若小明是芜湖人，则小明是安徽人”作为原命题，请同学们思考并说出它的逆命题，否命题以及逆否命题，并判断真假.

教师在黑板上书写两个真命题：

①若小明是芜湖人，则小明是安徽人；

②若小明不是安徽人，则小明不是芜湖人.

设计意图一段开场白，引发学生兴趣，缓解学生紧张的气氛，进而引出本节课的课题.接着从一个简单的问题出发，调动学生上一节课的四种命题知识来分析，学生很轻松地融入课堂之中，为接下来的概念生成作好铺垫.

3.2实例探究，生成概念

(1)探究一：“充分条件概念的生成”

同学们，我们知道一句话的意思可以有多种表达方式，首先我们来看原命题有哪些表达的方式呢？

为了研究的方便，我们不妨记作，p：小明是芜湖人；q：小明是安徽人.

现在我们来看原命题：若小明是芜湖人，则小明是安徽人；

原命题“若p,则q”为真命题.表达1如果p,那么q;只要p,就有q;由p通过推理可以得出q.符号表达p⇒q表达2只要有p就能充分地保证q的成立.简洁地说,p是q的充分条件.

这样我们就可以说：“小明是芜湖人”是“小明是安徽人”的充分条件.

即时巩固：判断下列命题，p是q的充分条件吗？

pq(1)x=1x2-4x+3=0(2)f(x)=xf(x)在R上为增函数(3)x为无理数x2为无理数

此例题的功能有：

①追问(1)中x=1改为x=3，还是充分条件吗？借此说明充分条件不一定唯一；

②判断p是q的充分条件，关键是判断p⟹q能否成立，命题正确要给出论证，错误要举出反例；

③借助(3)的p⟹/q，学生自然表达出：p不是q的充分条件.

(2)探究二：“必要条件概念的生成”

接下来我们再来研究它的逆否命题：若小明不是安徽人，则小明不是芜湖人；

原命题“若p,则q”为真命题逆否命题“若⇁q,则⇁p”是真命题表达1如果没有q,那么就没有p.符号表达⇁q⇒⇁p表达2q是p成立必须要有的条件,简洁地说,q是p的必要条件.

这样我们又可以说：“小明是安徽人”是“小明是芜湖人”的必要条件.

即时巩固：判断下列命题，q是p的必要条件吗？

pq(1)x=yx2=y2(2)两个三角形全等这两个三角形的面积相等(3)a>bac>bc

此例题的功能有：

①追问(1)中x2=y2改为x3=y3，还是必要条件吗？借此说明必要条件不一定唯一；

②判断q是p的必要条件，关键是判断p⟹q能否成立，命题正确要给出论证，错误要举出反例；

③借助(3)的p⟹/q，学生自然表达出：q不是p的必要条件.

3.3明确概念，即时巩固

(1)明确概念

我们知道，数学有自己的符号体系和表达方式，它使人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果.今天这堂课，我们又使我们的符号体系和表达方式增添了新成员.对于两个语句“p，q”而言，如果有p⟹q，我们有以下两个表述方式：

符号表达逻辑表达p⇒qp是q的充分条件q是p的必要条件

一个意思的两种表达，就如：一对父子，甲是父亲，乙是儿子，我们可以说，甲是乙的父亲，也可以说，乙是甲的儿子.

(2)即时巩固

练习1(请学生用“充分”或“必要”口答)：

①已知A⟹B，我们可以说，A是B的__________条件；

②已知D⟸C，我们可以说，D是C的__________条件.

练习2

①若A是B的必要条件，如何用“⟹”符号来连接A、B；

②若F的必要条件是E，如何用“⟹”符号来连接E、F.

设计意图变换叙述形式，也是防止学生死记硬背、克服形式主义教学的重要措施，是检测学生理解程度的手段，同时也让学生体会数学表达形式的多样性.

3.4概念应用，深化理解

(1)p是q的充分条件吗？

(2)p是q的必要条件吗？

让学生独立思考，自主探究问题的解决.按照波利亚的解题四步骤：弄清问题、拟定计划、实施计划、回顾反思，带领学生一起分析问题、解决问题，最后让学生自主总结归纳：如何判定p是q的什么条件？论证和举反例都由学生来完成.

例2(2013年上海高考题)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的______条件. (用“充分”与“必要”填空)

设计意图给学生提供活动的时(思维时间)空(思维空间)，让主体主动构建自己的认知结构，通过分组交流、思辨，帮助学生深化理解并运用定义，同时让学生在这一过程中获得成功的喜悦.具体实施步骤是：学生先行，交流在中，归纳在后.这里的例2的意图是让学生体会可以先利用逆否等价来判定.

例3写出x>3的一个充分条件：__________.

设计意图例3设置了一个开放型题目，而且换了一种句式，增加了题目难度，同时能培养学生思维的广度和对问题本质的理解. 因为学生发现答案的不唯一，而且学生自然发现集合间的关系，此处自然引导学生从集合的角度进行分析，借助数轴或韦恩图进行直观诠释与理解，拓宽了对概念的理解途径.

之后，问题可变式为x>3的一个必要条件是__________.

例4请同学们举例说明，说出充分条件与必要条件.

设计意图让学生举例，是检测、反馈学生理解概念程度的重要手段.在对概念学习后，教师不仅要进行一般性的解释，而且也应让学生自己举出例子来.这样，从概念的形成到明确概念，再到举出实例形成一个完整的概念认知过程.此外，会正确叙述定义，并会举出符合定义的实例，这两者的结合是防止学生死记硬背、克服形式主义教学的有效措施.

3.5互动回顾，深化认识

至此，教师引导学生回忆整个课堂教学过程，与学生共同从以下三个方面进行课堂小结.

(1)归纳本课内容：学习充分条件和必要条件的定义，并学会判断充分条件和必要条件的方法；

(2)提炼思想方法：充分条件和必要条件转化为集合之间的包含关系问题，并利用了互为逆否命题的命题真值相同进行等价转化，体现了等价转化和化归的数学思想；

总结知识和方法，完善知识结构，提高学生总结提炼重点的能力，通过学习提高推理的准确性、严谨性，发展数学思维能力.

设计意图回避了教师“走过场”式的小结，还学生以学习主体的地位，让他们自己谈体会、谈收获、谈疑惑.一方面，带领学生回忆整节课的内容以加深印象，融合知识，深化理解，另一方面，检验一下教学效果，为今后的教学安排提供依据.

3.6布置作业，拓展延伸

(1)书面作业：教材第10页练习第2、3、4题；

(2)拓展类作业：

设计意图通过一个与本节课相关的延伸问题，为学生创设课后自主探究的平台，使学生能更全面、深入地理解有关充分条件与必要条件的概念，最终我们是追求完美的充要条件，指出求参数的取值范围都是指充要条件，既无不法分子，也无漏网之鱼，也为后续深入研究和问题解决做好铺垫.

4　思考与感悟

4.1理解数学

正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维.本节课的充分条件与必要条件就是命题“条件”与“结论”逻辑关系的一种表述，让学生体会运用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性.

人教A版的主编寄语中写道：“数学概念的起源和发展都是自然的.”这节课采用简洁的引入，借助生活中的实例，芜湖人与安徽人的逻辑关系来导入新课，简洁自然，在学生的最近发展区(四种命题)设置问题，学生很轻松地融入课堂之中，为接下来的概念生成作好铺垫.值得一提的是，笔者并没有按照教材的顺序同时给出充分条件和必要条件的定义，而是引导学生从日常生活中的“充分”和“必要”性出发，对新知有所了解.结合学生熟知的数学命题，发现、归纳新知识，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使自己的认知结构更趋合理.这样讲述笔者认为会比教材中同时突兀给出充分条件和必要条件的概念，更自然，更容易使学生接受、理解，从而达到实效.这节课笔者打破常规，也对“用教材教而不是教教材”这句话有了更深的感悟.

本节课就是一种符号表达“p⟹q”以及两个逻辑表达“充分条件”与“必要条件”，这些概念对于学生来说不是困难的事情，难点在于概念的理解，体会概念的本质属性，所以本节课没有在推理上加大例题的难度，笔者认为如果在p⟹q的过程中加大例题难度，势必会冲淡了概念的主题.

4.2理解学生

“生动”课堂的一种诠释是生“动”.一般意义的生动课堂指教师讲得生动，但是在新课改形势下，生动课堂的内涵还应该覆盖学生的表现，要看学生是否积极参与了课堂，即“生动”课堂要求是生“动”.

本节课中在探究部分和例题部分，几乎都是由学生来完成的，三个例题的处理，都是遵循“学生先行，交流在中，归纳在后”的教学流程，尤其是学生归纳小结环节，有了更多学生的感悟融入其中.真正做到了教师为主导，学生为主体，把课堂留给了学生，这种“生”动不仅体现了学生的“说和做”，还体现了学生的“思和想”.在学生积极参与的情况下，课堂气氛相当活跃，这也尽可能抓住了更多学生的注意力，从而提高了课堂效率.

学生对于充分条件和必要条件的理解，需要经过一定时间的体会，先给学生对于充分条件和必要条件一个准确规范的表述，及对充分条件和必要条件进行判断的方法及步骤，教学中不要急于求成，而应在后续的教学中经常借助这些概念表述、阐述和分析数学问题.

4.3理解教学

由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学方式会使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键.教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念、“下定义”，去体会概念的本质属性.

概念教学贵在“自圆其说”. “自圆其说”不是胡编乱造，更不是歪曲事实.为了能够“自圆其说”，可以探索数学知识之间的联系，可以探索数学与其他学科之间的联系，可以探索数学与现实的联系.这节课的概念讲述就辅以了具体的现实问题，如“芜湖人和安徽人”的关系，这些简单易懂的生活实例可以帮助理解概念.

总之，数学概念教学是中学数学教学的重要组成部分.教师一定要根据学生的认知规律，注重概念的形成过程，保证数学概念教学的质量，提高学生的学习能力.目前高中阶段多数判定充分与必要条件的试题，表达这两个概念并不困难，难点设置在推理上.于是多数教学忽视了概念的形成过程，而将重点放在了应用或推理方法上，这难免使概念教学出现一定偏差.所以，我们的教学应该更加关注概念的形成过程，关注逻辑关系的表达，提高学生的逻辑用语素养，积累基本活动经验.使我们的教学“发挥数学的内在力量，为学生谋取长期利益”.

2016-02-16)