为何要学习因式分解

叶军

为何要学习因式分解

叶军

在学习“因式分解”时，不少同学总是不明白“为什么”要学习因式分解；学会了的同学大多只是记住了分解的步骤，“知其然而不知其所以然”，甚至过一段时间就会忘记.种种困惑，其实是对这一部分内容没有透彻的理解.本文采用“自问自答”的形式，对因式分解的相关内容作一点剖析，希望对初学者有所帮助.

1.如何区别因式分解和整式乘法？

一般地，多项式有两种表示形式：和的形式、积的形式.如果用“项链”比作和的形式，那么不妨也用“磁铁”来表示积的形式.借助于以上比喻，整式乘法是把多项式算成“项链”，而因式分解需要算成“磁铁”的形式.

因式分解是整式的一种恒等变形，其涉及的运算有：加减法和乘法，其基本原理是基于分配律的逆用.因此，因式分解是整式乘法的逆过程.它们有如下的区别：

（1）运算的结果形式不同.因式分解要求多项式化成整式之积的形式；而整式的乘法要求结果是单项式的和的形式.

（2）所用方法不同.整式乘法是基于分配律的乘法运算，由此可以得出一系列重要的公式，比如平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，等等.这些公式可以极大地简化运算步骤，提高效率.因式分解是基于分配律的逆用，采用的方法较多，最基本的有提取公因式法、公式法（公式又有很多）等等.这些方法，都是后人为了使得分解进行下去而总结提炼的结果，如果多掌握一点，可以提高运算的效率，领略代数计算的魅力.

（3）适用范围不同.理论上讲，不管多复杂的整式的乘法运算，都可以得到最后的“和的形式”.但对于因式分解，不是任何多项式都可以因式分解的.不能分解的多项式，叫作“不可约多项式”，一次多项式就不能再分解了，因此所有的一次多项式都是不可约多项式，比如x+y，a-b+1等.初中阶段更多地关注含有一个字母的二次多项式可不可以分解，其一般形式为ax2+bx+c，一般地，我们可以用根的判别式Δ=b2-4ac的符号进行判定：如果Δ≥0，则ax2+bx+c可以在实数范围内分解；如果Δ<0，则不可以在实数范围内分解.这里，“在实数范围内分解”，或“在有理数范围内分解”的意思是：分解后的因式的系数是实数或有理数.在不同的学习阶段，因式分解的要求有所不同，比如初一刚学习因式分解，我们还不认识有理数之外的无理数，因此可以分解x2-4，x2-x-2这样的多项式，诸如x2-3，x2-x-1这样的式子则不能分解.但是到了初二，认识了无理数之后，x2-3，x2-x-1又可以分解了.到了初三，我们就能很明白，为何x2-x+2不能因式分解.我们看一个例子.

例1（1）在有理数范围内分解因式x4-4；

（2）在实数范围内分解因式x4-4.

解：（1）x4-4=（x2+2）（x2-2）.

（2）x4-4=（x2+2）（x2-2）=（x2+2）（x+（x-）.

在高中学习了复数之后，上式还可以分解：

x4-4=（x2+2）（x2-2）=（x+√2i）（x-）（x+（x-）.

事实上，由代数基本定理可知，复数域上的不可约多项式只有一次因式，实数域上的不可约多项式是一次多项式和二次多项式.

2.因式分解要注意哪些事项？

首先，要注意因式分解的一般步骤，即：先提“净”公因式，再使用其他方法.因式分解就是把多项式分解为次数较低的多项式之积.因此提取公因式以后，所剩因式的次数会降低，便于运算.请比较下面例题的两种解法孰优孰劣.

例2分解因式4x4-64.

解1：4x4-64=（2x2+8）（2x2-8）=4（x2+4）（x2-4）=4（x2+4）（x-2）（x+2）.

解2：4x4-64=4（x4-16）=4（x2+4）（x2-4）=4（x2+4）（x-2）（x+2）.

其次，分解要彻底.上面提到的先提取公因式的方法，是分解彻底的有力保证，否则后面还不得不提取新的公因式.另外，方法的选择也很重要.

例3 分解因式a6-b6.

解1：a6-b6=（a2）3-（b2）3=（a2-b2）（a4+a2b2+b4）=（a+b）（a-b）（a4+a2b2+b4）.

解2：a6-b6=（a3）2-（b3）2=（a3+b3）（a3-b3）=（a+b）（a-b）（a2-ab+b2）（a2+ ab+b2）.

很显然，解法1分解不彻底，解法2则是正确的解法.也就是说，多项式a4+a2b2+b4还可以继续分解：a4+a2b2+b4=（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）.补充过程如下：

a4+a2b2+b4=（a4+2a2b2+b4）-a2b2=（a2+b2）2-（ab）2=（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）.

再次，分解因式要求每个因式尽量化简，而且结果的形式要求最简.

例4分解因式81x4-72x2y2+16y4.

错解：81x4-72x2y2+16y4=（9x2-4y2）2=［（3x+2y）（3x-2y）］2.

不难看到，上面的错误在于，结果需要使用“积的乘方公式”算出来，即：

81x4-72x2y2+16y4=（9x2-4y2）2=［（3x+2y）（3x-2y）］2=（3x+2y）2（3x-2y）2.

另外，我们还要避免出现“算回去”之类的错误.

3.因式分解还有其他方法吗？

目前教材上介绍的方法只有提公因式法与公式法，其实公式法还有更多的其他公式，我们在此推介立方和与立方差公式（已经在例3中用过一次了）：

a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）.

其他还有：分组分解法、十字相乘法、拆项添项法、待定系数法、因式定理法、换元法.限于篇幅，我们仅通过一个问题来了解拆项添项法.

例5分解因式：x3+2x2-5x-6.

解1：（拆二次项）

原式=（x3+x2）+（x2-5x-6）=x2（x+1）+（x+1）（x-6）=（x+1）（x2+x-6）=（x+1）（x-2）（x+3）.

解2：（拆一次项）

原式=（x3+2x2-8x）+（3x-6）=x（x2+2x-8）+3（x-2）=x（x-2）（x+4）+3（x-2）=（x-2）（x2+4x+3）=（x-2）（x+1）（x+3）.

解3：（拆常数项）

原式=（x3+1）+（2x2-5x-7）=（x+1）（x2-x+1）+（x+1）（2x-7）=（x+1）（x2-x+1+2x-7）=（x+1）（x2+x-6）=（x+1）（x-2）（x+3）.

解4：（拆二次项与一次项）

原式=（x3+x2）+（x2+x）-（6x+6）=x2（x+1）+x（x+1）-6（x+1）=（x+1）（x2+x-6）=（x+1）（x-2）（x+3）.

以上介绍了不同的拆项方法，其目的都是为了能继续分解，你不妨沿着这一思路想想，能不能想一个属于自己的方法？

需要说明的是，不同的方法之间是相通的.比如公式a2-b2=（a2-ab）+（ab-b2）= a（a-b）+b（a-b）=（a-b）（a+b）的产生过程，就用到了添项法（0=ab-ab）.x2+3x+2=（x2+ x）+（2x+2）=（x+1）（x+2），由此可见，十字相乘法也可是说是拆项法.

4.因式分解有哪些应用？

因式分解的主要功能就是让多项式出现因式，因此不会因式分解就无法顺利进入初二学习分式的约分和通分运算；对于一些方程问题，因式出现了，解方程就可以进行下去.所以，在学习“分式”、“一元二次方程”等内容时，都需要随时使用因式分解的变形技巧.一些算术运算也会用到因式分解技巧.

例6（4x2-9）÷（3-2x）=（2x+3）（2x-3）÷［-（2x-3）］=-（2x+3）=-2x-3.

例7求方程xy-x-y=5满足x

解：方程两边同加1，xy-x-y+1=6，即（x-1）（y-1）=6，因为x、y都是正整数，且x<

（作者单位：江苏省南京师大附中江宁分校）