七年级下册课内习题延展——因式分解中的数学思想

刁品泉

七年级下册课内习题延展
——因式分解中的数学思想

刁品泉

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维和运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.

把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式因式分解（也可以叫分解因式），它的定义确实简单，但也足够抽象，主要还是强调形式上的变化.课本上介绍的方法也很常规，主要是两种方法：提公因式法和运用公式法.但是想要顺利解决它却是件不太容易的事情.我认为，了解因式分解中的数学思想尤为重要.我将通过课内习题中的几个典型例题略作介绍：

一、整体思想

所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解.

例1把多项式（x2-1）2+6（1-x2）+9分解因式.

【分析】把（x2-1）看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的.

解：（x2-1）2+6（1-x2）+9

=（x2-1）2-6（x2-1）+9

=［（x2-1）-3］2

=（x2-4）2

=［（x+2）（x-2）］2

=（x+2）2（x-2）2.

例2把多项式（a+b）2-4（a+b-1）分解因式.

【分析】原式两项既无公因式可提，又无公式可套用，但此结构特点可视a+b为一个整体，局部展开后或许能运用完全平方公式.

解：（a+b）2-4（a+b-1）

=（a+b）2-4（a+b）+4

=（a+b-2）2.

二、类比思想

类比思想在因式分解中的运用很广泛，具体表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比.

例3把多项式6x3y2+12x2y3-6x2y2分解因式.

【分析】对比整式的乘法和乘法的分配律可知，6、12、6的最大公因数是6，字母x、y的最低指数均为2，所以多项式6x3y2+12x2y3-6x2y2的公因式是6x2y2.

解：6x3y2+12x2y3-6x2y2

=6x2y2（x+2y-1）.

例4分解因式：

（1）x3y-xy3；（2）abx2-2abxy+aby2.

【分析】（1）对比平方差公式可先提取xy.（2）对比完全平方公式可先提取ab.

解：（1）x3y-xy3

=xy（x2-y2）

=xy（x+y）（x-y）；

（2）abx2-2abxy+aby2

=ab（x2-2xy+y2）

马铃薯晚疫病的症状在不同地区及气候条件下各不相同，但在大多数情况下，最初的症状是暗绿色圆形浸水的小斑点，经常出现在较底层的植株叶片上以及围绕在叶尖和叶缘上，然后再向整个叶面扩散。在潮湿的环境中，叶片的背面可能会有白色绒毛出现在病斑的边缘。受侵染的块茎表面会呈现出不正常的、凹陷的、大小不一的、紫褐色的区域。

=ab（x-y）2.

三、转化思想

某些多项式从表面是无法利用因式分解的一般步骤进行的，必须通过适当的转化，如经过添项、拆项等变形，才能利用因式分解的有关方法进行.

例5把多项式6x（x-y）2+3（y-x）3分解因式.

【分析】考虑到（y-x）3=-（x-y）3，则多项式转化为6x（x-y）2-3（x-y）3，因此公因式是3（x-y）2.

解：6x（x-y）2+3（y-x）3

=6x（x-y）2-3（x-y）3

=3（x-y）2［2x-（x-y）］

=3（x-y）2（x+y）.

【分析】从表面上看此题不能直接分解因式，但仔细观察发现若x2y2转化成2x2y2-x2y2，即可先运用完全平方公式，再利用平方差公式.

解：x4+x2y2+y4

=x4+2x2y2+y4-x2y2

=（x2+y2）2-x2y2

=（x2+y2+xy）（x2+y2-xy）

=（x2+xy+y2）（x2-xy+y2）.

四、换元思想

所谓的换元就是将多项式的某些项用另一个新的字母去代换，通过换元可以将复杂的多项式转变成简单的，将陌生的转换成熟悉的，使之得以顺利地分解因式.

例7把多项式（x+y）（x+y+2xy）+（xy+1）·（xy-1）分解因式.

【分析】这个多项式形式上比较复杂，但考虑x+y与xy重复出现，利用这一特点，可以把这两个因式通过换元后再分解因式.

解：设x+y=a，xy=b，则

（x+y）（x+y+2xy）+（xy+1）（xy-1）

=a（a+2b）+（b+1）（b-1）

=（a2+2ab+b2）-1

=（a+b）2-1

=（a+b+1）（a+b-1）

=（x+y+xy+1）（x+y+xy-1）

=（x+1）（y+1）（x+y+xy-1）.

（作者单位：江苏省南师附中江宁分校）