千里之堤 毁于蚁穴——数学学习中不应该忽视的小错误

祁艳波

千里之堤毁于蚁穴
——数学学习中不应该忽视的小错误

祁艳波

同学们，我们知道数学来源于生活，反过来又应用于生活.初中数学主要包括代数和几何两部分，代数容易出现的错误是计算部分，而几何的错误主要出现在说理论证部分.对于几何部分，不少学生反映：某某题目我会做，但是过程我不会写，或者说我写了不知道对不对.这些都充分反映了同学们对几何部分理论的掌握情况.不少学生在做几何说理论证时，把已知条件全部写出来，然后就得出结论，这种解答问题的方式是不对的.那我们该如何做才能达到我们想要的结果呢？下面我们一起来看看在苏科版七年级（下）第12章《证明》中容易出现的一些错误.

1.对命题与非命题识别中的错误

例1给出下列语句：（1）三角形的外角和为360°；（2）好香的茉莉花呀！（3）在△ABC中，若AB=AC，那么△ABC是等腰三角形，你认为这个结论正确吗？（4）不许和陌生人说话.其中是命题的有_________（填序号）.

【分析】命题表示判断，不能既肯定又否定，因此命题一定是陈述句，不能是疑问句、感叹句或祈使句，也不能是画图语句或猜测，题中只有（1）表示判断，是命题.

【错解】（1）（2）（3）（4）

【正解】（1）.

2.命题改写中的错误

例2将下列命题改写成“如果……那么……”的形式.

对顶角相等.

【分析】在改写命题时，不能简单地把条件部分、结论部分分别填在“如果”“那么”的后面，要适当地增减词语，在不改变意思的前提下，保证整体句子叙述的通畅.

【错解】如果对顶角，那么相等.

【正解】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.

3.证明中推理不严密导致的错误

例3如图1，已知AB∥CD，∠B=40°，∠D=40°，求证：BC∥DE.

图1

【分析】证明中的推理过程不能“想当然”，每一步推理都要有根据.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、定理或公理.推理过程要严密，不能跳步.

【错解】因为∠B=40°，∠D=40°（已知），

所以∠B=∠D（等量代换），

所以BC∥DE（同位角相等，两直线平行）.

【正解】∵AB∥CD（已知），

∴∠B=∠C=40°（两直线平行，内错角相等）.

∵∠D=40°（已知），

∴∠C=∠D（等量代换）.

∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）.

4.要看清条件写理由

例4填写推理依据：

如图2，∵∠D=∠C，

∴DE∥BC（），

∴∠E=∠B（）.

图2

【分析】由∠D=∠C，得到DE∥BC，应填平行线的判定条件，即“内错角相等，两直线平行”.再由DE∥BC，得到∠E=∠B，应填平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”.

【错解】两直线平行，内错角相等.内错角相等，两直线平行.

【正解】内错角相等，两直线平行.两直线平行，内错角相等.

【点评】由角的数量关系（相等或互补）得到两直线的位置关系（平行），根据的是平行线的判定方法；而由两直线的位置关系（平行）得到角的数量关系（相等或互补），根据的是平行线的性质，填写理由时不可混淆.

5.要正确理解“等量代换”的含义

例5下列推理：（1）∵∠1=∠2，∠2= ∠3，∴∠1=∠3；（2）∵a∥b，b∥c，∴a∥c；（3）∵∠1=∠2，∴∠1=∠2；（4）∵∠1+∠2=90°，∠2=∠3，∴∠1+∠3=90°.其中以“等量代换”为推理依据的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】“等量代换”的含义是相等的量可以相互代替，它考查的是量与量之间的数量关系.（2）中其实是平行的传递性，不是数量关系，而是位置关系.（3）是由等式的性质得到的.（1）（4）是以等量代换为依据得到的.

【错解】D.

【正解】B.

6.未掌握反例的概念，导致所举反例不能说明命题为假而产生的错误

例6判断命题“如果ab>0，那么a>0”的真假，若是假命题，请举出一个反例说明.

【分析】反例即为满足命题条件，但不满足命题结论的例子.不要误认为就是逆命题，而出现错误.

【错解】如果a>0，那么ab>0.

【正解】是假命题.例如a=-1，b=-1时，ab=1>0，但a=-1<0.

7.要看清原命题还是逆命题

【分析】本小题是要找出逆命题是真命题的命题，要看清题中的要求.

【错解】（2）.

【正解】（1）（3）.

8.证明中的循环论证问题

循环论证就是用来证明论题的论据本身的真实性要依靠论题来证明的逻辑错误.比如说：一个瘦子问胖子：“你为什么长得胖？”胖子回答：“因为我吃得多.”瘦子又问胖子：“你为什么吃得多？”胖子回答：“因为我长得胖.”通过这个例子我们能很容易理解什么是“循环论证”.

例8如图3△ABC，求证：∠A+∠B+ ∠C=180°.

【错解1】延长BC到D，

∵∠ACD是△ABC的外角，

∴∠ACD=∠A+∠B（三角形一外角等于与它不相邻的两个内角之和），

∵∠ACB+∠ACD=180°（补角的定义），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.

图3

【分析】本题出现在三角形内角和为180°的证明问题中，这是学生提供的一种证明方法.这种方法看似很好，在添加辅助线时并不是很复杂，但是这位同学犯了典型的“循环论证”错误.“三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和”，这个定理是运用三角形内角和定理证明的，这很明显是个“循环论证”.

【错解2】过A作AD⊥BC，

（如图4）∵AD⊥BC（已作），

∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定义），

∴∠BAD+∠B=90°，∠CAD+∠C=90°（直角三角形两个锐角互余），

∴∠BAD+∠B+∠CAD+∠C=180°（等式的性质），

即：∠BAC+∠B+∠C=180°.

图4

【分析】本题也是出现在三角形内角和为180°的证明问题中，这种方法也是学生提供的一种证明方法，但是在上一题的讲解后，已经有学生能够发现这种“循环论证”的错误了.

【错解3】利用四边形内角和是360°，

∵四边形的内角和是360°，

四边形可以分成两个三角形，

∴三角形内角和是180°.

【分析】本题也是出现在三角形内角和为180°的证明问题中，在证明的时候学生利用了四边形的内角和为360°，有学生发现四边形的内角和是由三角形内角和为180°证明得到的，所以这种解法也犯了“循环论证”的错误.

【正解】如图5，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB，

图5

∵CE∥AB（已作），

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）.

∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.

（作者单位：江苏省连云港市海头中心校）