空间解析几何柱面的3D动画表现

赵由由，闫亚军

（1.安徽新华学院，安徽合肥230088；2.安徽大学艺术与传媒学院，安徽合肥230011）

空间解析几何柱面的3D动画表现

赵由由1，闫亚军2

（1.安徽新华学院，安徽合肥230088；2.安徽大学艺术与传媒学院，安徽合肥230011）

空间解析几何与3D动画是两个完全不同的学科，对空间解析几何图形在3D动画中表现的研究，是一个新的尝试.柱面母线移动应用3D动画常规技术不能以动态化视觉图形表现出来；3D动画没有曲线方程，不能精确绘制双曲线等准曲线，进而使这种柱面难以表现.通过对两个学科的比较分析，深度挖掘3D动画技术，采取3D动画模型库中的模型直接创建柱面、手工绘制准曲线、表达式表示准曲线的柱面表现这三种方法，将柱面在3D动画中表现出来，使得空间解析几何中的图形变得真实、艺术和富有生命.

空间解析几何；柱面；3D动画；表现

1　引言

空间解析几何是用代数的方法解决空间几何的问题，它建立在坐标系下的数与形的相互结合上[1].柱面是由一条平行于某一定方向的动态直线沿着空间一条定曲线移动所产生的曲面，其中动直线为母线，定曲线为准曲线，定方向为母线方向.柱面在建筑、军事、游戏等诸多领域有着较广泛的应用[2].

三维简称3D动画是随着计算机应用的流行而兴起的一门技术，它是用3D图形的形式表现真实世界和虚拟世界，是在虚拟环境中用各种可视要素仿真现实对象和创建虚拟对象来影响人的视觉. 3D动画设计系统是进行3D动画制作的环境，它属于计算机辅助工程设计范畴[3]，更多的表现为视觉艺术学科，该技术已应用到众多行业.

空间解析几何与3D动画是两个完全不同的学科[4]，前者表现在数学领域，后者则更多的表现在视觉艺术方面，对空间解析几何图形在3D动画中表现的研究，在国内外有少数人对“Matlab等现代数学软件表现解析几何图形动画”[5]等进行研究之外，使用3D动画这种艺术设计系统来表现空间解析几何图形的，目前还是一个新的尝试；柱面母线移动这种理论性视觉图形，应用3D动画常规技术不能将其以动态化图形视觉形式表现出来；3D动画没有曲线方程，对于双曲线等为准曲线的一些柱面，不能绘制其按方程要求的准曲线，进而使这种柱面难以表现.“空间解析几何柱面的3D动画表现”，以柱面作为空间解析几何的图形，对这两个学科进行比较分析，找出它们的代数与几何特点，深度挖掘3D动画技术，将柱面在3D动画中表现出来，实现空间解析几何的图形具有了3D动画的视觉艺术效果[6].

2　空间解析几何与3D动画之间的比较分析

空间解析几何主要解决的是根据空间图形归纳出该图形的代数方程，或者根据代数方程描绘出空间图形，它是解决代数表示图形以及图形归纳代数这种双向数学问题的学科.这里的空间图形一般要满足一定的规律与条件，绘制的图形不生动，不精细，而代数又以相对应的坐标系作为支持，其中直角坐标系是最常用的坐标系.例如，柱面是平行母线方向的母线沿着准曲线运动所形成的曲面，这里的母线方向、准曲线是有规律条件的，不同的规律条件带来柱面图形、方程的差异.如将母线方向定为Z轴方向，准曲线方程为，那么得到的柱面是椭圆柱面，其柱面方程为而将准曲线方程改为=1，z=0或y2=2px，z=0，则得到双曲柱面或抛物柱面，它的柱面方程就要改写为=1和y2=2px了.如果给定柱面方程，我们就可以在直角坐标系下绘制相应柱面的图形[7].

在3D动画设计系统中，能够设计出各种形式的立体几何体造型，称其为模型，模型的产生需要通过建模技术.模型大多以实体显示，图形精细而真实，如长方体、球体等，在这些模型中很多没有什么规律可循，也不能用代数来描述规律.在模型的代数表示上，3D动画有多种坐标系，这种坐标系主要用来确定整个模型的位置、比例、方向以及模型其它属性值等，当模型进行精确显示时，一般使用坐标的具体参数值，如长方体的长、宽、高值，而变量，常规情况下没有人使用，对于空间解析几何含未知量的代数方程，3D动画设计系统中根本就没有.要对具有一定规律属性的模型，需要对3D动画技术进行深度挖掘，采取程序表达式方式进行描述.3D动画中的代数反映模型，其代数都是定量.如直线，在代数几何上是无限长、无粗细的，但在3D动画设计系统中，它是有长度和粗细的，再如直线的移动形成的曲面，在几何中，两相邻线为无厚度密不可分的，而在3D动画设计系统中，线的移动造成两相邻线之间有一定的距离.3D动画除了空间几何图形之外，还有灯光、色彩、时间等赋予几何图形之上的各种属性，并利用镜头视角显示它们，正因为这种图形上的各种属性和视角，使得空间几何图形在视觉表现上具有了生命.

由此，空间解析几何与3D动画具有许多相同之处，它们都具有绘制图形的功能，都能反映空间几何的造型，都建立在坐标系下，能用代数表现几何图形.空间解析几何主要解决的是如何用方程表示图形和如何用代数描绘图形，但对图形仅用几条线勾画甚或不进行绘制.而3D动画的图形绘制即建模，以真实实体的形式显示出来，再对模型施加多种视觉元素，使得图形很生动.在代数表示方面，3D动画的坐标系与空间解析几何是两个完全不同的概念，3D动画是没有方程式的，只能用定量值，但存在表达式、脚本语言等高深代数技术.

3　柱面在3D动画中的表现

从柱面的静态与直线移动这两种图形特征着手分析，柱面在3D动画中的表现，实际上是对柱面的图形特征进行直观与艺术化显示，即柱面的直接静态实体显示和以一条线移动逐渐形成柱面的过程显示.为了提高其艺术观赏性，一般还对柱面显示添加材质特效等视觉元素.

由于3D动画设计系统具有对空间对象进行镜头视角调节功能，柱面的准曲线可以直接放在世界坐标系的XY平面即地平面上，母线使用平行Z轴即垂直地平面的圆柱体，其高度与底面半径的比例设置大些.如果柱面是非直柱面，则对圆柱体按母线方向进行倾斜等操作.柱面在3D动画中的表现，可采取模型库中的模型编辑创建、手工绘制准曲线、表达式表示准曲线三种方法进行研究，进而完成的所有柱面的表现.

3.1模型库中的模型直接创建柱面的表现

这种柱面的显示，实际上就是立体几何体，例如直圆柱面，从模型库选中圆柱体模型直接创建即可得到.对于准曲线圆的半径值，在模型圆柱体中通过半径参数进行调节.如果母线方向与准曲线面成某夹角，那么，可以对模型圆柱体施加倾斜等编辑命令.如图1所示，是3D动画中的圆柱面.

图1　模型圆柱面

模型库模型显示，对圆、椭圆、长方形等准曲线，能按准曲线方程直接制作出柱面，对一些如双曲线、抛物线等作为准曲线在模型库中没有的柱面，可以依照视觉进行手工制作出柱面，但不能严格按照准曲线方程进行柱面制作.

3.2手工绘制准曲线的柱面表现

这种准曲线很多情况下无规律性可言，完全依据个人的设计理念，它们都具备一定造型与应用价值，如今有很多建筑装饰中用这种设计方法.例如，以3dsmax作为3D动画设计环境，在顶视图手工绘制二维图形“心型”，取名“xinxing”作为准曲线.这时柱面的表现可以采取如下方法：

方法一，对“xinxing”附加建模工具制作出柱面，如在“xinxing”上使用Extrude或loft工具即可得到柱面；

方法二，应用母线在准曲线“心型”上的移动形成静态柱面.(1)在顶视图创建圆柱体，名为“zhixian”，半径0.5，高为300，高分段数改为1；(2)并将“zhixian”约束到“xinxing”上实现沿路径移动动画；(3)执行快照复制若干“zhixian”到“xinxing”上形成非动画柱面.

上述柱面的显示都是静态图形，如果要进行母线在准曲线“心型”上移动而逐渐形成柱面这种动态视觉表现，常规方法做不出来的.但可以使用方法三.

方法三，采取方法二中的(1)、(2)步骤，(3)编写并运行MaxScript程序：克隆运动的“zhixian”若干个（200），对克隆的直线分别在不同时刻i处增加关键帧，并将它们已有的末关键帧（100）删除，其语句：

for i=1 to 100 by 0.5 do(xzhixian=copy$zhixian; select xzhixian;at time i(addnewkey xzhixian.Position. Controlleri;selectkeysxzhixian.position.Controller 100;deletekeys xzhixian.Position.Controller#selection))

如果母线方向与准曲线面成一定角度，当“zhixian”创建完成后，对其进行角度调整，然后使用上述方法即可.如图2所示，是手绘准曲线“心型”多种方法的柱面表现.

图2　手绘准曲线“心型”的柱面

3.3准曲线为表达式的柱面表现

三准动画是没有代数方程的，而柱面准曲线的规律性一般以方程式来体现，对于这种柱面，可以先对准曲线方程进行改造，将方程转换成以时间为变量的表达式，再使用非常规方法实现柱面的显示.例如准曲线是XY平面上双曲线（a=4，b=3），绘制该双曲柱面.首先将方程=1修改成表达式x=4+0.002*T，y=3*sqrt(x*x-16)/4，z=0，然后采取下列方法：

方法一：(1)在顶视图创建圆柱体“zhixian”，radio:1，height:50作为母线，并复制三个共四条直线，其名分别为“zhixian01”、“zhixian02”、“zhixian03”，前两个移至双曲线顶点[4，0，0]点，后两个移到[－4，0，0]；(2)对四条直线的位置分别设置表达式控制器，其表达式分别为[x,y,0]、[x,-y,0]、[-x,y,0]、[-x,-y, 0]其中x=4+0.002*T，y=3*sqrt(x*x-16)/4；(3)再对该四直线执行快照复制，即得到静态的双曲柱面.

方法二，表现直母线移动效果的动态双曲柱面.在MaxScript下编写并运行程序：

animate on;for i in 0 to 100 do(xx=4+0. 2*I;yy=3*sqrt(xx*xx-16)/4;zxys=cylinder height:40 radius:0.5 pos:[xx,yy,0];zxyx=cylinder height:40 radius:0.5 pos:[xx,-yy,0];zxzs=cylinder height:40 radius:0.5 pos:[-xx,yy,0];zxzx=cylinder height:40 radius:0.5 pos:[-xx,-yy,0];if i1then(attime (i-1)(zxys.visibility=off;zxyx.visibility=off;zxzs.visibility=off;zxzx.visibility=off);

at time i(zxys.visibility=on;zxyx.visibility=on; zxzs.visibility=on;zxzx.visibility=on));else(at time 0 (zxys.visibility=off;zxyx.visibility=off;zxzs.visibility=off;zxzx.visibility=off);at time i(zxys.visibility=on;zxyx.visibility=on;zxzs.visibility=on;zxzx.visibility=on)))

图3　表达式形式的双曲柱面

4　总结

通过实现3D动画模型库模型柱面的表现、手绘准曲线柱面的表现、准曲线方程转换成表达式柱面的表现，各种柱面在3D动画中不仅能以静态图形显示出来，还能将理论性柱面母线移动图形以动态化图形视觉形式表现出来，如果再对这些图形附加上材质等视觉元素，使得空间解析几何中的简单静态图形变得真实精细而生动，使得空间解析几何这种数学理论具有了艺术生命.

〔1〕王晓静,张蒙,张艳.空间直线方程一题多解的探析[J].高等数学研究,2010（2）:37－39.

〔2〕邵光华,王培合.高等院校数学专业解析几何课程改革研究[J].大学数学，2011(3):17-21.

〔3〕唐红平.三维动画创造性的语言[J].浙江工艺美术，2007(4):73-75.

〔4〕张桂宜.游走于数学与艺术设计之间[J].上海工艺美术，2010(2):96-97.

〔5〕邓燕,李传涛,王海英.三维动画演示在解析几何教学中的应用[J].荷泽学院学报，2011(2):112-114.

〔6〕曾丽娟,吴健平.光影艺术在现代景观设计中的应用研究[J].安徽农业科学，2010(18):9823-9825.

〔7〕杨兴云,张磊,赵军生.《空间解析几何》直观性教学选材实践[J].黑龙江科技信息，2009(24):201+ 117.

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2015-12-28