RLW方程非协调特征有限元超收敛分析

周家全，许　超，唐启立

(1.洛阳理工学院数理部,河南洛阳　471023;2.河南科技大学数学与统计学院,河南洛阳　471023)



RLW方程非协调特征有限元超收敛分析

周家全1，许超1，唐启立2

(1.洛阳理工学院数理部,河南洛阳471023;2.河南科技大学数学与统计学院,河南洛阳471023)

构造了二维RLW方程的一个非协调特征有限元格式,利用修正类Wilson非协调元的特性和双线性协调元插值算子的高精度结果,在不使用投影算子的情况下得到了RLW方程数值解与精确解的L2-模最优误差估计和H1-模超逼近结果.最后,利用插值后处理算子得到了H1-模的整体超收敛结果.

二维RLW方程；非协调特征有限元；最优误差估计；超逼近；超收敛

0　引言

考虑二维RLW方程

(1)

其中,X=(x,y),Ω⊂R2为具有Lipschitz连续边界∂Ω的有界凸多边形区域,(0,T]为时间区间,u0(X)为已知光滑函数.

RLW方程最初是作为Korteweg-de Vries(KdV)方程而提出的一个修正模型[1],可用于描述物理中的许多现象,例如浅水波的孤立子波的运动和离子的运动规律等.相对于KdV方程,RLW方程具有更好的数学性质,因此对RLW方程数值解法的研究具有重要意义.目前,关于RLW方程的有限元数值方法已有很多[4-11],但都是基于协调有限元的.

本文将修正类Wilson元[17]与特征有限元相结合，并针对RLW方程构造了一个非协调特征有限元格式,利用修正类Wilson元的特殊性质以及双线性元插值算子的高精度结果,在不使用投影算子的情况下得到了其数值解与精确解的L2-模最优误差估计和H1模的超逼近结果.最后,通过构造适当的插值后处理算子导出了整体超收敛结果.

1　非协调有限元构造

其中

任意vh∈Vh可表示为

2　RLW方程的非协调特征有限元格式

进而方程(1)可写成等价特征形式

(2)

(3)

(4)

(5)

在四边形网格上,修正类Wilson元有如下特殊性质,这些特性在得到L2-模最优误差估计和H1-模超逼近结果的过程中起着重要作用.

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

当Jh为广义矩形网格剖分时,有

(,,

其中Pi(K)(i=1,2)为K上不超过i次的多项式集合,n为单元K边界∂K的单位外法向量.

3　收敛性分析

本节给出RLW方程特征非协调有限元离散格式(5)的L2-模最优误差估计和H1-模超逼近结果.

(11)

(12)

其中,

(13)

由(3)和(5)式可得误差方程

(14)

其中

在(14)式中取vh=θn可得

(15)

下面对(15)式右端各项分别进行估计.利用Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式,并结合引理1,引理2和(7)式可得

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

类似文献[12]的方法,可得H7的估计：

(22)

(23)

将(16)～(23)式代入(15)式,并从1到n求和,考虑到θ0=0,再利用Gronwall引理,可得

(24)

4　超收敛性分析

基于上述超逼近结果,我们引入具有如下性质的插值后处理算子Π2h[16,19]：

(25)

定理2设u和uh分别是方程(3)和(5)的解,则对∀u∈H3(Ω),有如下超收敛结果：

(26)

证明由于

利用三角不等式及(25)和(12)式,可得

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(责任编辑马宇鸿)

Superconvergence analysis of nonconforming characteristicfiniteelementmethodforRLWequations

ZHOU Jia-quan1,XU Chao1,TANG Qi-li2

(1.Department of Mathematics and Physics,Luoyang Institute of Science and Technology,Luoyang471023,Henan,China;2.SchoolofMathematicsandStatistics,HenanUniversityofScienceandTechnology,Luoyang471023,Henan,China)

Inthispaper,anonconformingcharacteristicfiniteelementschemeisproposedfor2DRLWequations.Byuseofthespecialpropertiesofthenonconformingquasi-Wilsonelementandhighaccuracyresultofstandardconformingbilinearfiniteelementinterpolationoperator,andwithouttheprojectionoperator,anoptimalordererrorestimateinL2-normandsupercloseresultinbrokenH1-normareobtained.Atthesametime,theglobalsuperconvergenceinbrokenH1-normisdeducedbyinterpolationpostprocessingtechnique.

2DRLWequations;nonconformingcharacteristicfiniteelement;optimalerrorestimate;supperclose;supperconvergence

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.04.003

2016-02-27;修改稿收到日期:2016-05-12

国家自然科学青年基金资助项目(11401174);河南省教育厅自然科学研究计划项目(14B110025);洛阳理工学院自然科学研究项目(2011YZ1106)

周家全(1971—)，男，河南商丘人，副教授，硕士.主要研究方向为有限元方法及其应用.

E-mail:lyzhjq@126.com

O242.21

A

1001-988Ⅹ(2016)04-0009-05