浅谈新课标下中学数学概念教学

赵桂霞

(山东省淄博市高青县第一中学，256300)



○教学研究○

浅谈新课标下中学数学概念教学

赵桂霞

(山东省淄博市高青县第一中学，256300)

正确地理解数学概念,是掌握数学知识的前提．数学概念的教学对于提高数学教学质量,实现教学目标都起着十分关键的作用，它是整个数学教学的一个重要环节,且有利于培养学生的创新思维和创新能力.新课标把培养学生的创新思维和创新能力作为核心,并将学习主动权还给学生，因此,教师在进行中学数学概念教学时,要重视对概念形成过程的教学．本文以中学数学中的两个概念为例说明中学数学概念形成过程教学的重要性,进而提出了教师做好中学数学概念形成过程教学的基本要求．

一、数学概念的意义及其教学的必要性

数学是由概念与命题等内容组成的知识体系,它是一门以抽象思维为主的学科,而数学概念则恰是这种思维的语言．数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括,是对一类数学对象的本质属性的反映．在中学数学中有大量的概念,它是数学基础知识的重要组成部分,也是中学生进

于是点P(x0,y0)处的切线方程可以表示为

对这个例子,相信大部分学生都可以猜想到切线方程的表达式.难就难在这个表达式的证明过程,尽管思路比较简单,但是这个求导的过程还是比较复杂、麻烦的,很多学生在这点上就被绊住了,这时候我们老师就应该鼓励学生进行证明．

六、寻找规律，掌握本质

万变不离其宗,世间万物在本质上都存在着一定的关联,在我们的数学教学中也不例外．寻找一般规律通常是我们解决问题的一个策略,在培养学生创造性思维中应用也比较广泛.但是有一点需要注意,寻找一般规律时候需要认清事物间的本质．

案例4二次平面体系中,以点(a,b)为圆心,以r为半径的圆的方程表达式为: (x-a)2+(y-b)=r2,根据此方程表达式猜想,以点(a,b,c)为球心,以r为半径的球的方程,并进行证明．

大部分学生在处理这个问题时,都会自然的写出:(x-a)3+(y-b)3+(z-c)3=r3,潜意识认为将平面的二次问题直接转换成空间的三次问题就完事了．这充分说明,大部分学生在这个过程中并没有认清事物的本质,仅仅是简单的进行比较．如果学生能够看到不管是圆的定义还是球的定义都离不开距离的问题,很显然就可以得出球面的方程也是二次方程的结果．

行计算和解决实际问题的重要依据．

新课程标准重视概念形成过程的教学．但长期以来,在数学概念教学中往往较多关注概念本身和概念的应用,而忽视了对概念形成过程的教学,强行让学生记忆概念的文字表述或公式，甚至嫌数学概念形成教学过于麻烦,只是在方式上以“告诉”为主,让学生“占有”新概念,置学生于被动地位,使学生思维呈依赖性．这样的教学方式,扼杀了学生的思维品质,违背了新课程理念．

二、什么是概念形成

所谓概念形成,是指人们对同类事物中若干不同例子进行反复感知、分析、比较和抽象,以归纳的方式概括出这类事物的本质属性或者通过分析问题、解决问题、在探索解决问题的途径中获得对概念的认识．教师在进行中学数学概念形成过程的教学中,应通过概念形成过程去对学生原有的认知结构进行调节和改组,建立新的数学认知结构．

三、概念教学的探讨

教师在进行数学概念形成过程的教学中,可以给学生创设一些有探究性的问题,由此引导学生去探索问题、展开想象力,在不断探索问题的过程中,亲身感受概念形成的前因后果及产生新概念的必要性.此外,由于人们对事物的认识总是由具体到抽象，从模糊到比较精确，从不意识到自己概括的心理过程发展到自觉地进行概括,在这个过程中思维将会得到不断的发展．

案例1反函数的教学

由于反函数是高一函数的难点,其思维具有明显的动态性和互逆性及高度的抽象．如果教师在教学时只以讲授为主,直接告诉学生反函数的定义,那么学生会感到莫名其妙,甚至会有“多此一举,自找麻烦”之感．但是,假如教师能够在课堂上创设一些问题并且采用有效的方式(例如采用分组交流及班级交流的方式)进行探究问题、解决问题,使学生在这个过程中感受到建立反函数这个新概念的必要性及概念形成的过程,那么效果会更佳．

1. 提出问题

问题1在函数y=f(x)中,若将y看成自变量,x作为因变量,则x一定是y的函数吗?怎样的函数才具备这种性质?你能举出这样的例子吗?

问题2在你所举的例子中,以一个函数为例,求出x=φ(y),你认为用怎样的符号表示这个函数比较合适?该函数的定义域与值域和y=f(x)的定义域与值域有何关系?

2. 探究、解决问题

方式:小组交流和班级交流相结合.

(1)小组交流.根据学生的具体情况进行搭配，把全班同学平均分成几个小组,以小组为单位进行合作交流．教师随堂巡视,参与各小组的讨论,并了解各小组的讨论情况以及出现的问题,以便随时解决,尤其对即些不主动参与的学生,应该给予特别的关注,鼓励他们积极参与．

(2)班级交流.由各小组推荐代表进行班级交流,让每小组的代表上讲台介绍本小组讨论的结果,其他小组补充更正．教师对学生的讲解要给予一定的表扬、赞许和鼓励,对有争议的地方,通过教师的引导和点拨去澄清．

至此,两个问题都得到了解决．教师在这个基础上引导学生概括:①反函数的定义;②反函数存在的条件;③反函数的表示形式．特别强调:反函数的表示形式,习惯上用x表示自变量,y表示函数,因此引出了y=f-1(x)的表示形式．

这样设计的教学过程,源自两个问题：“若y是x的函数,那么反过来x是y的函数吗?”引发学生的好奇心;“怎样的函数才能有这种性质?”激发了学生的探索欲望．让学生思考、讨论这两个问题,紧扣了“反函数”的本质,体现的是“反函数”这一概念形成的过程．对“反函数”采用以上的教学过程,目的就是要引导学生体会前人探索的过程,这可以培养学生的创新思维．由于整个过程中都充满了辩论、争执和思维的火花,学生对反函数的意识将会有了更深刻的理解．这样,通过学生的交流代替老师单方面的、直接地给出概念的定义,能够更好地让学生感受到了概念形成的原因,培养了学生的创新思维，提高了学生的创新能力,这正是新课标所提倡的教学理念．

许多概念都具有比较直观的模型,并且这些模型在我们的日常生活中会随处可见．因此，教师在进行中学数学概念形成过程的教学时,也可以由具体的事物出发,让学生先建立表象,然后再将这些表象进行抽象概括,得出共性,进而获得新的概念．这样的教学过程,可以使学生深刻体会到概念形成的整个过程,学生的思维能力也能得到提高．

案例2“直线与平面垂直”的概念教学

若教师直接讲授给学生:“如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直”．由于这个概念本身具有高度的抽象性,学生很难马上接受得了,即使少部分学生接受了,但也只是死记硬背,很快就会被遗忘．这样的教学方式,学生处于被动地位,对课堂失去了热情,无法感受到概念形成的整个过程．

但是,如果教师能够抓住日常中一些常见的“直线与平面垂直”的模型,使学生建立起这一概念的表象,进而抽象概括出其共同属性,就可以让学生“亲临”这个概念形成的整个过程．其具体设计如下:

(1)让学生观察走廊上栏杆的柱子与地面的位置关系,教室里吊扇柄与天花板的位置关系．

(2)让学生回忆日光灯下,直立于地面的旗杆及它在地面的影子,尽管随着时间的变化,影子的位置会不断地移动,但是旗杆始终与影子垂直．

(3) 出示以下一组图形,让学生观察直线l与平面α的位置关系(如图1、2、3):

通过上述观察,学生头脑中已获得“直线与平面垂直”这一直观形象,但还没有建立起反映“直线与平面垂直”这一概念本质属性的表象．为了进一步深化表象,应引导学生动手操作,比如可以设计以下两个实验(让学生亲自动手作,教师在一旁指引)

实验1首先,把一支铅笔立于纸面上,再把三角板的一直角边紧贴笔杆,另一直角边紧贴纸面,并以笔杆为轴,使三角板饶笔杆旋转．请学生观察贴于纸上的一直角边所在直线与笔杆的位置关系；接着让学生在纸上任意地画几条不平行的直线,根据两异面直线所成角的定义,用三角板的直角去度量直立的笔杆和所画的几条直线所成的是什么角．

这一实验的第一步是要让学生感知纸面上过纸面与直立的笔杆交点的所有直线与笔杆所成的角是什么角;第二步是要让学生感知纸面上不过铅笔笔杆与纸面交点的任意直线也与铅笔笔杆垂直.

实验2在纸上画一条直线AC使三角板的一直角边与直线AC重合,并将三角板与纸面成倾斜状,如以上图2.观察三角板另一直角边l与直线AC所成的是什么角，接着,再在纸上画另一条直线l1,使l1∥AC，观察直线l1与l所成的角是什么角.然后再让学生思考在平面α内,形如直线l1这样的直线共有几条?最后再在纸上任画另一条直线l2,使l2与直线AC不平行,观察l2与l所成的角是什么角．

该实验的目的是要让学生感知:如果一条直线与平面内的一条直线垂直,则该直线与平面不一定垂直;若与平面内的两条直线,甚至更多的直线垂直,该直线与平面仍不一定是垂直的．

经过上述的教学过程,学生对直线与平面垂直已充分感知，建立了比较深刻的表象．教师应在这个基础上引导学生试着给概念下定义,坚持逐步抽象、概括、归纳出这些表象共有的本质属性．

由于学生对这一概念已有鲜明的表象,对这个问题的讨论将会很激烈．于是,有的学生会根据实验1 的第一步得出:若一条直线与平面内的过此直线和平面交点的直线都垂直,则该直线与平面垂直;有的学生则会根据实验1 的第二步概括出:若一条直线与平面内的不过此直线和平面交点的直线都垂直,则该直线与平面垂直;还有学生则会根据实验2 概括出:若一条直线与平面内的无数条直线都垂直,只要这些直线不是一组平行线,则该直线与该平面垂直．此外,一些概括能力较强的学生也许还会综合两个实验概括出:如果一条直线和一个平面内的所有直线都垂直,则该直线与该平面垂直．

对于学生归纳出的这些定义,教师可以不急于评讲,而是让学生先进行讨论.接着对照课本,然后思考:书上为什么这样下定义?我们下的定义是否正确?经过充分的讨论、分析,学生可以发现：上述几种定义,虽然表达形式不同,但其实质都是一样的,都是指“一条直线垂直于平面内的任意一条直线”,因而都是正确的．但是,数学概念的定义应当用一种最简洁、最明了的形式来表达,于是就产生了课本上的最简练、最精确的定义形式．

以上教学过程展现了“直线与平面垂直”这一概念形成的过程.整个过程中教师只是在一旁指引,而让学生自己动手实验,在实验的过程中不断地深化表象,进而归纳出这些表象的共有属性,形成概念．这样，学生不但更好地理解了“直线与平面垂直”这一概念的本质,掌握了这个概念形成的思维过程,而且还培养了学生的创新思维和提高了学生的创新能力，这也体现了新课标的要求．

四、做好中学数学概念形成过程的教学的基本要求

第一,教师应具有完善的知识结构,专业水平要高,知识面要宽广．一个教师专业水平的高低和知识面的宽窄,直接影响着教师对课堂问题的设计．实验的设计,影响着数学概念形成过程教学的质量．

第二,教师应具有现代的教育观念,要改变以往仅按课本上从定义到解题的演泽过程的概念教学方式,改变教师主宰一切,以教师为中心的思想．在整个数学概念形成过程的教学中,教师主要表现在教学的引导,启发等作用上,侧重引导学生积极思考,勇于探索．

第三,概念形成的一般过程为:实物(问题)→感知辨析(探讨问题)→建立表象(初定结论)→抽象概括(验证结论、解决问题),是通过对具体事物或问题感知、辨别而抽象概括的过程．因此,在中学数学概念形成过程教学中,教师要努力创造条件(例如提出有代表性的问题或展示相关实物),给学生提供自主探究、相互交流的机会和充分的思考空间,让学生在观察、操作、实验、归纳和分析的过程中亲自经历概念的形成和发展过程,进行数学的再发现和再创造．

第四,教师在引导学生通过概念形成去学习中学数学概念的过程中,还必须按照学生的心理发展规律组织教学活动.教学方式要灵活多变,课堂气氛要活跃,要激发学生学习的积极性．并且对不同的概念要采取不同的方式进行教学．