艾拉姆咖分布参数的EB单侧检验

吕　佳,任芳玲,乔克林

(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安　716000)



艾拉姆咖分布参数的EB单侧检验

吕佳,任芳玲,乔克林

(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安716000)

艾拉姆咖分布在武器装备的维修理论中具有重要作用。在独立同分布条件下研究了艾拉姆咖分布参数的经验贝叶斯检验问题。在对贝叶斯检验函数的临界点的特定要求下构造了分布参数的经验贝叶斯检验函数,给出了其渐近最优性的证明；在合适的条件下得出了收敛速度,并给出了一个满足条件的例子。

艾拉姆咖分布;单侧检验;经验贝叶斯;检验函数

艾拉姆咖分布的应用常见于武器装备维修理论中,它是俄罗斯在研究武器装备的维修时间时引入的。国内对这类分布统计性质进行研究的文献相对较少。文献[1]中首先对艾拉姆咖分布的性质进行了初步分析,其次在全样本场合下运用极大似然法对分布的参数进行估计并通过实例验证这种分布的可行性和实用性。文献[2]中研究了艾拉姆咖分布的小样本区间估计和检验问题,并运用实例指出在对装备维修工时的估计中用艾拉姆咖分布进行估计的精度比用指数分布高。文献[3]中在定数截尾样本下研究参数的极大似然估计并在全样本场合下给出参数的精确区间估计和近似区间估计。龙兵[4-7]从贝叶斯统计的角度对该分布进行了统计分析,得出了参数估计和检验的方法。

经典的统计方法直接利用样本信息,这样的经典推断大多不考虑所作的推断将被应用的领域。而贝叶斯分析将先验信息正式地纳入统计学中并探索如何利用这种信息。譬如田玉柱等[8]研究了混合双参数指数分布的贝叶斯估计问题,表明贝叶斯方法对该分布的参数估计是有效的。贝叶斯方法可以在实践中检验正确性,并不断地完善。虽然,很多实践证明这些先验信息可以帮助做出更好统计推断,但是先验的寻找和确定并不是一件容易的事情。20世纪50年代,以罗宾斯[9]为代表,提出了经验贝叶斯方法,它是一种用边际分布来确定先验的贝叶斯方法。通俗地说,经验贝叶斯(Empirical Bayes)是利用已有数据来估计先验的某些性质的方法。经验贝叶斯方法把贝叶斯方法和经典统计方法相结合,显示出了其特有的优越性。以下将主要采用经验贝叶斯方法来研究艾拉姆咖分布的单侧假设检验问题,这是现有文献中不曾有过的尝试。

1　艾拉姆咖分布参数的贝叶斯检验函数

考虑参数λ的单侧检验问题:H0∶λ≤λ0VsH1∶λ>λ0。

令δ(x)=P{接受H0|x}表示判决函数,则在先验分布为G(λ)时δ(x)的贝叶斯风险为

(1)

设

则有

(2)

由柯西不等式可知

由式(1)知贝叶斯判决函数为

δG(x)的贝叶斯风险为

(3)

由于先验分布G(λ)是未知的,这就使得贝叶斯检验函数在实际中无法应用,因此要用经验贝叶斯方法来解决。

2　构造艾拉姆咖分布参数的经验贝叶斯检验函数

设X1,X2,…,Xn,X是独立同分布的样本序列,X1,X2,…,Xn为历史样本；X为当前样本,它们共同的概率密度为f(x)。令Fk,β表示一族密度函数,其k阶导数存在并连续(k≥2,为非负整数),且绝对值不超过β。现做如下假设:

f(i)(x)(i=0,1)核密度估计为

(4)

现构造λ的经验贝叶斯检验函数如下:

δn(x)的全面贝叶斯风险为

(5)

其中:En表示对X1,X2,…,Xn的联合分布求期望。

3　经验贝叶斯检验函数的渐近最优性和收敛速度

引理1设RG、Rn分别由式(3)、式(5)定义,则

证明由引理1,令:Qn(x)=|h(x)|P(|hn(x)-h(x)|≥|h(x)|),可知Qn(x)≤|h(x)|。

由式(2)可知

由控制收敛定理得

证明由于

(6)

其中:c,c0,c1…用来表示任意正的常数。

若x∈(0,B1],有δG(x)=δn(x)=1；若x∈[B2,),有δG(x)=δn(x)=0,则

En[δn(x)]-δG(x)=0,

所以J1=J4=0 。

若x∈(B1,bG],有δG(x)=1,En[δn(x)]=P(hn(x)≤0),则有

同理可得

由第2类广义积分的比较判别法可知

4　定理的应用

条件(ⅰ)成立。假定核函数所对应的条件(ⅱ)成立,则两个定理的条件全部满足,两个结论成立。

[1]吕会强,高连华,陈春良.Эрланга分布及其在保障性数据分析中的应用[J].装甲兵工程学院学报,2002,16(3):51-55.

[2]潘高田,王保恒,陈春良,等.艾拉姆咖(Эрланга)分布小样本区间估计和检验问题研究[J].数理统计与管理,2009,28(3):468-472.

[3]顾蓓青,王蓉华,徐晓岭.艾拉姆咖分布的统计分析[C]//中国机械工程学会可靠性工程分会、柴油机增压技术重点实验室.2011年全国机械行业可靠性技术学术交流会暨第四届可靠性工程分会第三次全体委员大会论文集.北京:中国机械出版社,2011.

[4]龙兵.艾拉姆咖分布参数的Bayes估计及检验[J].数学的实践与认识,2013,43(7):104-109.

[5]龙兵.艾拉姆咖分布均值比的Bayes估计及检验[J].兰州理工大学学报,2013,39(4):154-157.

[6]龙兵.不同损失函数下艾拉姆咖分布参数的Bayes估计——全样本情形[J].重庆师范大学学报:自然科学版,2013,30(5):96-100.

[7]龙兵.不同先验分布下艾拉姆咖分布参数的Bayes估计[J].数学的实践与认识,2015,45(4):186-192.

[8]田玉柱,安乐,陈平.混合双参数指数分布的贝叶斯估计[J].甘肃科学学报,2008,20(3):16-19.

[9]Robbins H.The Empirical Bayes Approach to Statistical Decision Problems[J].Ann Math Statist,1964,35:1-20.

[10]John M V,Van Ryzin J.Convergence Rates in Empirical Bayes Two-action Problems:Ⅱ Continuous Case[J].Ann Math Statist,1972,43:934-947.

EB One-tailed Test of Эрланга Distribution Parameters

Lv Jia,Ren Fangling,Qiao Kelin

(College of Mathematics and Computer Science,Yan'an University,Yan'an 716000,China)

Эрланга distribution plays an important role in the maintenance theory of weaponry.This paper studies the empirical bayesian testing problem of Эрланга distribution parameters under the independent identically distributed(IID) conditions.It constructs the empirical bayesian testing function of distribution parameter under the specific requirement of Bayesian inspection function's critical point,giving the proof of its asymptotic optimality;It obtains the rate of convergence under appropriate conditions,and gives an example that meets the condition.

Эрланга distribution;One-sided test;Empirical Bayes;Test function

10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.04.001.

2016-02-14;

2016-04-13.

国家自然科学基金项目(11471007)；陕西省教育厅专项科研计划项目(15JK1822).

吕佳(1982-)，男，陕西咸阳人，硕士，讲师，研究方向为统计推断.E-mail:yadxjia@163.com.

O211

A

1004-0366(2016)04-0001-06

引用格式:Lv Jia,Ren Fangling,Qiao Kelin.EB One-tailed Test of Эрланга Distribution Parameters[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(4):1-5,12.[吕佳,任芳玲,乔克林.艾拉姆咖分布参数的EB单侧检验[J].甘肃科学学报,2016,28(4):1-5,12.]