不等式的求解方法
2016-08-31马影辽宁省鞍山市宝得中学
马影辽宁省鞍山市宝得中学
不等式的求解方法
马影
辽宁省鞍山市宝得中学
数学方法具有以下三个基本特征:是高度的抽象性和概括性;精确性,即逻辑的严密性及结论的确定性,三是应用的普通性和可操作性。
一、代数法
代数方法：使用数学公式，法则解不等式.代数方法是学生解答不等式所选取的最普遍的方法,采用这种方法所使用的公式，法则包括：
(1)同号为正;不等式两边加上或减去同一个表达式,不等号不变;不等式两边同乘以分母的平方,不等号方向不变;不等式两边同乘以负因式,改变不等式的符号等。
(2)找到二次不等式 ax2+bx+c>0与其相应的方程ax2+bx+c=0的两个实数根,利用公式口诀小于”两根之间“大于”是两根之外;或先观察“a”的符号和△=b2-4ac的符号,并找出相应方程ax2+bx+c=0的根,再利用口诀解答不等式。
二、平方法
平方法：在解左右两边都带有绝对值的不等式或保证不等式符号两边都是非负的情况下,一般采用两边同时平方。
例2.1解不等式|x-1|>|2x-1|。
解：原不等式可化为：|x-1|2>|2x-1|2,即x2-2x+1>4x2-4x+1。
所以:3x2-2x<0,所以原不等式的解集为
例2.2解不等式｜x＋3｜>｜x－5｜。
解:不等式可化为（x＋3）2>（x－5）2,即x2+6x+9>x2－10 x+25。
所以:16x>16,即x>1,所以,原不等式的解集为｛x｜x>1｝。
说明：该不等式两边都是非负数,所以可以对两边进行平方,利用|a|2=a2,从而把绝对值符号去掉。
三、图像法
图像法：指的是先画出相应的函数图像,通过图像可以得到不等式的解答.利用“同号两数相乘得正,异号两数相乘得负”的原理,将一元二次不等式转化一元一次不等式组加以解决.毫无疑问,这种解法具有极大的不完整性,这就为二次不等式的图象法作了必要的铺垫和准备(图像法如表2-1)。
例3.1x2-x-6>0。
所以二次函数y=x2-x-6与x轴有两个交点。
一元二次方程x2-x-6=0的两个根为x1=3,x2=-2。
一元二次不等式的解为x<-2或x>3。
说明：通过例题一达到让学生掌握图象法解一元二次不等式的基本步骤（求根——画图——找解）和基本原理（数形结合）.
例3.2-x2+3x+10≥0。
分析：让学生注意二次项系数为负时的处理方法。
解：原式可化为-x2+3x+10≤0,得：-2≤x≤5。
说明：通过图象解法分类化归，渗透数形结合、等数学思想,培养学生动手能力,抽象概括能力,渗透数形结合、归纳总结等系统的逻辑思维能力,培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质。
四根轴法
根轴法：又叫数轴标跟法指的是利用数轴将不等式所相应方程的根在数轴上用连续的线段将它们连起来,实质上它是图像法解不等式的简化,用数轴分区间法来确定不等式的解集。
步骤(1)确定零点,在数轴上标出零点坐标(2)从零点上方最大的数自右向左画出曲线,每经过两个点改变一次曲线的方向,数轴上方的曲线对应的取值使得不等式的值为正,数轴下方的曲线对应的取值使得不等式的值为负,与x轴相交的交点取值为零点,(3)根据不等式的条件判断解集,解集是各成立取值区间的并集,注意零点中的可能取值情况(如图3-1)。
图3-1 根轴法
五、零点分段法
零点分段讨论法：是解决含有两个或两个以上绝对值不等式的问题。
例5.1求不等式 |x+2|+|x-1|>3的解集。
分析：据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间,再分别讨论而去掉绝对值.从而转化为不含绝对值的不等式。
故可把全体实数x分为三个部分：(1)x<-2,(2)-2≤x<1,(3) x≥1。
所以原不等式等价于下面三个不等式组：
不等式组(1)的解集是{x|x<－2}。
不等式组(2)的解集是∅。
不等式组(3)的解集是{x|x>1}。
综上可知原不等式的解集是{x|x<－2或x>1}。
说明：在用零点分段法解题时,首先求出使某些式子等于零的字母的值，然后再进行分段讨论,从而达到解题的目的。
例5.2解不等式|x－1|＋|2－x|>3－x。
分析：在解题时，应先求出含绝对值中x对应的零点值,此题与上一题有所区别,不等式后边是含有未知数的式子,但不含有绝对值,所以它非零点值。
解:由于实数1,2将数轴分成(－∞,1],(1,2],(2,＋∞)三部分,故分三个区间来讨论。
(1)当x≤1时,原不等式可化为－(x－1)－(x－2)>x＋3,即x<0。故不等式的解集是{x|x<0}。
(2)当1
(3)当x>2时,原不等式可化为(x-1)＋(x-2)>x＋3,即x>6。故不等式的解集是{x|x>6}。
综上可知,原不等式的解集是{x|x<0或x>6}。
说明：分段讨论后，所得出的解取并集后才是原不等式的解。
例5.3已知关于x的不等式|x－5|＋|x－3| 解：∵x＝5时,|x－5|＝0；x＝3时,|x－3|＝0。 (1)当x≤3时,原不等式可化为－x＋5－x＋3 (2)当3 (3)当x>5时,原不等式可化为x－5＋x－3 综上知a>2。 说明：对于含两个以上绝对值不等式，一般采取零点分段法。 通过这篇文章使大家对不等式的类型及主要求解方法有了进一步的认识,对这类题形更加熟悉,对不等式在培养教育学生能力上有了一定的认识.同时也锻炼了独立思考的精神.上面是我对一些常用的不等式解法的粗略回顾和总结,可以对一些学生有些帮助。
