尺规作图题新走向

文/朱广科

尺规作图题新走向

文/朱广科

近几年中考作图题，已不局限于对基本作图技能的考查，一些设计新颖、富有创意的作图题越来越受到命题者青睐.情景型、设计型、阅读理解型、开放型等题型层出不穷.这些作图题大都联系生活实际，需要进行多方位、多角度、多层次探索，以检验我们思维的灵活性、发散性、创新性.现以2015年的中考试题为例，就各种作图题分类说明，供你复习时参考.

一、基本作图型

图1

例1（2015年兰州卷）如图1，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）

解：点P是∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点，以P为圆心，PM为半径的圆为所求，如图1，⊙P就是所求作的圆.

点评：尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规来作图，最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图.解尺规作图题时，要明确直尺和圆规的功能，理解图形的本质特征，确定正确的作图顺序，一般需要保留作图痕迹.

二、图形剪拼型

图2

图3

图4

图5

例2（2015年龙岩卷）下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形.

（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成正方形的边长；

（2）如图3，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①于③三部分，请在图4中画出将于③与①拼成的正方形，然后标出于③变动后的位置，并指出于③属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换；

（3）在图5中画出一种与图4不同位置的两条裁剪线，并在图5中画出将此六边形剪拼成的正方形.

解：（1）根据剪拼前后图形的面积相等，得出拼成的正方形的边长为

（2）如图4所示，于③都属于平移.

（3）如图5所示.

点评：有趣的剪拼问题常蕴含着理性的数学思考.本题以图形的剪拼为背景，考查了正方形、勾股定理等有关知识.理解旋转、平移和轴对称变换的特点，合理计算发现拼接前后图形中边、角、面积之间的关系，从而确定剪拼方案.

三、图形变换型

图6

例3（2015年聊城卷）在如图6所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（-3，-1）.

（1）将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；

（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标.

解：（1）如图6所示，△A1B1C1为所求；点B1坐标为（-2，-1）.

（2）如图6所示，△A2B2C2为所求，点C2的坐标为（1，1）.

点评：图形变换主要包括图形的平移、翻折、旋转等几种情况.解决本题的关键是学会观察并挖掘其中的变换条件，根据变换规律得出对应点位置.

四、开放探究型

例4（2015年南京卷）如图7，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）

图7

解：满足条件的所有图形如图7所示.

点评：解此类问题需要分类讨论.对于结论不确定的问题，因解题思路不同及理解程度不同，将得到不同的结论，均可作为问题的答案.此题主要考查等腰三角形的判定，合理利用图形分类是解题的关键.分类讨论时，要慎密思考，做到不重不漏.

五、阅读理解型

例5（2014年宁波卷）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交点）上，这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb-1，其中m，n为常数.

（1）在下面的方格纸中各画一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）和菱形；

（2）利用（1）中的格点多边形确定m，n的值.

解：（1）如图8所示.

图8

（2）在图8的三角形中，a=4，b=6，S=6，

在平行四边形（非菱形）中，a=3，b=8，S=6，在菱形中，a=5，b=4，S=6，

任选两组代入S=ma+nb-1，

点评：依照材料给出的定义，对新问题进行类似的信息迁移，考查应用新知识的能力.要求我们在阅读的基础上，寻找规律并应用于解决新问题，理解格点多边形的面积公式S=ma+ nb-1，根据已知画出各多边形是解题的关键.

六、问题情景型

例6（2015年北京卷）在数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如下：

图8

如图8所示，

（2）作直线CD.

老师说：“小芸的作法正确.”

请回答：小芸的作图依据是____________________________________

解：∵CA=CB，DA=DB，

∴CD垂直平分AB（到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上）.

故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.

点评：本题是通过师生对话的形式给出的一类作图题，试题活泼生动、趣味十足，激发学生解题的激情，在呈现方式上，不是直接尺规作图，而是给出作图的方法和过程，让学生找出作图的依据，其目的是考查学生搜索信息、整理信息和应用信息的能力，要求学生不仅要知其然，还要知其所以然.