怎样解方程应用题

2016-08-26于宗英彭景才

初中生 2016年18期

关键词：小提示文学名著投递

文/于宗英　彭景才

怎样解方程应用题

文/于宗英彭景才

方程应用题是中考的重要内容，这类问题类型众多，背景鲜活，具有很强的时代感.下面以2015年中考题为例，对应用题进行归类解析，希望对你的复习有所帮助.

一、增长率问题

例1（2015年长沙卷）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件.现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.

（1）求快递总件数的月平均增长率；

（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？

解析：（1）设快递总件数的月平均增长率为x，由已知得10（1+x）2=12.1，

解得x1=0.1，x2=-2.1（舍去）.

答：该公司快递总件数的月平均增长率为10%.

（2）今年6月份快递投递任务有12.1×1.1=13.31（万件）.

21×0.6=12.6＜13.31，

∴21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务.

∴至少还需增加2名业务员.

温馨小提示：若基础量为a，连续增长（或降低）n次，最后的结果量为b，设平均增长（或降低）率为x，则增长后的方程为a（1+x）n=b或降低后的方程为a（1-x）n=b，求出方程的解后，要注意根据实际问题检验结果的合理性.

二、水费问题

例2（2015年深圳卷）下表为深圳市居民每月用水收费标准（单位：元/m3）：

用水量　单价_ x ≤2 2 　a剩余部分　a + 1 . 1

（1）某用户用水10立方米，交水费23元，求a的值；

（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？

解析：（1）由题意可得10a=23，解得a=2.3.

（2）设用户用水量为x立方米，

∵用水22立方米时，水费为22×2.3=50.6＜71，

∴x＞22，

∴22×2.3+（x-22）×（2.3+1.1）=71，解得x=28.

答：该用户用水28立方米.

温馨小提示：根据图表中数据估算出用户用水量x米3（x＞22）是解题的关键.

三、图表信息问题

图1

例3（2015年吉林卷）根据图1中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度.

解析：设梅花鹿的高度是xm，长颈鹿的高度是ym.

答：梅花鹿的高度是1.5m，长颈鹿的高度是5.5m.

四、车费问题

例4（2015年娄底卷）假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费.

小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元.”

小李说：“我乘出租车从市政府到娄底火车站走了6.5千米，付车费14.5元.”

问：（1）出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？

（2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？

解析：（1）设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元.

答：出租车的起步价是4.5元，超过1.5千米后每千米收费2元.

（2）5.5千米的路程分两段收费，根据（1）中的单价可得

4.5+（5.5-1.5）×2=12.5（元）.

答：小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费12.5元.

温馨小提示：利用二元一次方程组解应用题需要找到2个等量关系，找到恰当的等量关系并用方程表示出来是解题的关键.

五、行程问题

例5（2015年烟台卷）2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍.

（1）求高铁列车的平均时速；

（2）某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至某市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？

经检验，x=72是原分式方程的解，且符合题意，则2.5x=180，

答：高铁列车的平均时速为180千米/时.

（2）630÷180=3.5，则坐车共需要3.5+1.5=5（小时），

王老师到达会议地点的时间为13点40分.

故他能在开会之前到达.

温馨小提示：行程问题中的基本关系式是：路程=速度×时间，根据三者的关系，找到相等关系，列出方程.在列方程时注意统一单位.

六、面积问题

例6（2015年湖北卷）如图2，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？

解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，则平行于墙的一边的长为（25-2x+1）m，由题意得

x（25-2x+1）=80，

化简，得x2-13x+40=0，

解得x1=5，x2=8，

当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），

当x=8时，26-2x=10＜12，符合题意.

答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m.

温馨小提示：利用面积公式，将实际问题转化为数学问题，构造方程模型来解决，要注意题目中的限制条件.

图2

七、方案问题

例7（2015年桂林卷）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益.为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书.经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）.

（1）求每本文学名著和动漫书各是多少元？

（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案.